CF1392H ZS Shuffles Cards
看到这种期望题， \(\min-\max\) 容斥一般是跑不了了。
定义一个元素的值代表这个元素被加入集合以后， 第一次抽出来的鬼牌是第几张。
先把 \(\min-\max\) 容斥的式子写出来。
\[E(\max)\{S\} = \sum_{T\subseteq S} (-1)^{|T| + 1} E(min\{T\})
\]
显然 \(E(\min\{T\})\) 的值只和 \(|T|\) 有关。
这个 \(\min(T)\) 是简单的， 有
\[\min(T) = \frac{|T| + m}{|T|}
\]
原因是抽出一张数字牌的概率是 \(\min(T) = \frac{|T|}{|T| + m}\) 。
然后现在一组 \(T\) 期望拿出来的牌数就知道了。然后考虑每次拿出来鬼牌的时候期望的摸牌数 \(D\) ， 如果可以计算， 答案如下 ：
\[D\sum_{i}^n\binom{n}{i} (-1)^{i + 1}\frac{|T|}{|T| +m}
\]
这个 \(D\) 的计算的话只要枚举这张鬼牌是第几张抽出来的就好了， 懒得写了.jpg。
算了还是写下。
设 \(g(i)\) 表示第 \(i\) 次抽出鬼牌的概率， 有 :
\[g(i) = (1 - \sum_{j = 1}^{i - 1} g(j)) \frac{m}{m +n - i + 1} \\
D = \sum g(i)i
\]