刚学了这方面的知识，总结一下。推荐学习数论方面的知识还是看书学习，蒟蒻看的是《初等数论》学的。
这里也推荐几个总结性质的博客，学习大佬的代码和习题。
原根：https://blog.csdn.net/fuyukai/article/details/50894609
BSGS：https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/8810050.html
https://blog.csdn.net/sodacoco/article/details/81515576
然后也没什么好说的啦，以下是模板代码：
求一个数的最小原根：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; LL prm[1000],tot,N,root; LL Power(LL x,LL p,LL MOD) { LL ret=1; for (;p;p>>=1) { if (p&1) ret=(ret*x)%MOD; x=(x*x)%MOD; } return ret; } LL GetRoot(LL n) { LL tmp=n-1,tot=0; for (LL i=2;i<=sqrt(tmp);i++) { if(tmp%i==0) { prm[++tot]=i; while(tmp%i==0) tmp/=i; } } if (tmp!=1) prm[++tot] = tmp; //质因数分解 for (LL g=2;g<=n-1;g++) { bool flag = 1; for(int i=1;i<=tot;i++) //检测是否符合条件 if(Power(g,(n-1)/prm[i],n)==1) { flag=0; break; } if (flag)return g; } return 0; //无解 } int main() { cin >> N; cout<<GetRoot(N)<<endl; return 0; }
普通BSGS：计算a^x≡b(mod p)，要求a和p互质。
#include<bits/stdc++.h> #define MOD 76543 //这是哈希表大小 using namespace std; int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top; void insert(int x,int y) { int k=x%MOD; hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++; } int find(int x) { int k=x%MOD; for(int i=head[k];i!=-1;i=nxt[i]) if(hs[i]==x) return id[i]; return -1; } //普通BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（A和C互质） int BSGS(int a,int b,int c) { top=1; memset(head,-1,sizeof(head)); //清空哈希表 a%=c; b%=c; //先取模 if(b==1) return 0; int m=sqrt(c*1.0),j; long long x=1,p=1; for(int i=0;i<m;++i,p=p*a%c) insert(p*b%c,i);//小步：存的是(a^j*b, j) for(long long i=m;;i+=m) { if((j=find(x=x*p%c))!=-1) return i-j; //大步：a^(ms-j)=b(mod c) if(i>c) break; } return -1; //无解 } int main() { int a,b,c; cin>>a>>b>>c; cout<<BSGS(a,b,c)<<endl; return 0; }
拓展BSGS，计算a^x≡b(mod p)，但不要求a和p互质。代码学习yyb大佬的，测试：SPOJ-MOD 。
#include<bits/stdc++.h> #define MOD 76543 //这是哈希表大小 using namespace std; typedef long long LL; LL power(LL x,LL p,LL mod) { LL ret=1; for (;p;p>>=1) { if (p&1) ret=(ret*x)%mod; x=(x*x)%mod; } return ret; } int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top; void insert(int x,int y) { int k=x%MOD; hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++; } int find(int x) { int k=x%MOD; for(int i=head[k];i!=-1;i=nxt[i]) if(hs[i]==x) return id[i]; return -1; } //拓展BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（不要求A,C互质） int exBSGS(int y,int z,int p) { y%=p; z%=p; if (z==1) return 0; int k=0,a=1; while(1) { //消因子 int d=__gcd(y,p); if(d==1)break; if(z%d) return -1; //无解 z/=d; p/=d; ++k; a=1LL*a*y/d%p; if(z==a) return k; } top=1; memset(head,-1,sizeof(head)); //清空哈希表，BSGS int m=sqrt(p)+1; for(int i=0,t=z;i<m;++i,t=1LL*t*y%p) insert(t,i); for(int i=1,tt=power(y,m,p),t=1LL*a*tt%p;i<=m;++i,t=1LL*t*tt%p) { int B=find(t); if(B==-1) continue; return i*m-B+k; } return -1; } int main() { int a,b,c; while (scanf("%d%d%d",&a,&c,&b)==3) { if (a==0 && b==0 && c==0) break; int t=exBSGS(a,b,c); if (t==-1) puts("No Solution"); else printf("%d ",t); } return 0; }
题目练习：
洛谷P2485
简单题，分别是求快速幂，逆元，BSGS。
#include<bits/stdc++.h> #define MOD 76543 //这是哈希表大小 using namespace std; typedef long long LL; LL power(LL x,LL p,LL mod) { LL ret=1; for (;p;p>>=1) { if (p&1) ret=(ret*x)%mod; x=(x*x)%mod; } return ret; } int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top; void insert(int x,int y) { int k=x%MOD; hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++; } int find(int x) { int k=x%MOD; for(int i=head[k];i!=-1;i=nxt[i]) if(hs[i]==x) return id[i]; return -1; } //普通BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（A和C互质） int BSGS(int a,int b,int c) { top=1; memset(head,-1,sizeof(head)); //清空哈希表 a%=c; b%=c; //先取模 if(b==1) return 0; int m=sqrt(c*1.0),j; long long x=1,p=1; for(int i=0;i<m;++i,p=p*a%c) insert(p*b%c,i);//小步：存的是(a^j*b, j) for(long long i=m;;i+=m) { if((j=find(x=x*p%c))!=-1) return i-j; //大步：a^(ms-j)=b(mod c) if(i>c) break; } return -1; //无解 } int main() { int T,k; cin>>T>>k; while (T--) { int y,z,p; scanf("%d%d%d",&y,&z,&p); if (k==1) printf("%lld ",power(y,z,p)); if (k==2) { if (y%p==0) puts("Orz, I cannot find x!"); else printf("%lld ",z%p*power(y,p-2,p)%p); } if (k==3) { if (y%p==0) {puts("Orz, I cannot find x!"); continue;} int t=BSGS(y,z,p); if (t==-1) puts("Orz, I cannot find x!"); else printf("%d ",t); } } return 0; }
洛谷P3306
完全不会做qwq，蒟蒻只能自闭半天之后看题解，跟着大佬推。这道题很好，细节也很多，值得多思考。
#include<bits/stdc++.h> #define MOD 76543 //这是哈希表大小 using namespace std; typedef long long LL; LL power(LL x,LL p,LL mod) { LL ret=1; for (;p;p>>=1) { if (p&1) ret=(ret*x)%mod; x=(x*x)%mod; } return ret; } int hs[MOD],head[MOD],nxt[MOD],id[MOD],top; void insert(int x,int y) { int k=x%MOD; hs[top]= x,id[top]=y,nxt[top]=head[k],head[k]=top++; } int find(int x) { int k=x%MOD; for(int i=head[k];i!=-1;i=nxt[i]) if(hs[i]==x) return id[i]; return -1; } //普通BSGS：计算A^X=B(mod C)求X（A和C互质） LL BSGS(int a,int b,int c) { top=1; memset(head,-1,sizeof(head)); //清空哈希表 a%=c; b%=c; //先取模 if(b==1) return 0; int m=sqrt(c*1.0),j; long long x=1,p=1; for(int i=0;i<m;++i,p=p*a%c) insert(p*b%c,i);//小步：存的是(a^j*b, j) for(long long i=m;;i+=m) { if((j=find(x=x*p%c))!=-1) return i-j; //大步：a^(ms-j)=b(mod c) if(i>c) break; } return -2; //无解 } int main() { int T; cin>>T; LL p,a,b,x1,t; while (T--) { scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&p,&a,&b,&x1,&t); if (x1==t) { puts("1"); continue; } if (a==0) { if (b==t) puts("2"); else puts("-1"); continue; } if (a==1) { if (b==0) puts("-1"); else printf("%lld ",((t-x1)%p+p)%p*power(b,p-2,p)%p+1); continue; } int tmp=(t-t*a)%p; tmp=(tmp+p)%p; tmp-=b; tmp%=p; tmp=(tmp+p)%p; int ttmp=(x1-x1*a)%p; ttmp=(ttmp+p)%p; ttmp-=b; ttmp%=p; ttmp=(ttmp+p)%p; tmp=tmp*power(ttmp,p-2,p)%p; printf("%lld ",BSGS(a,tmp,p)+1); } return 0; }
BZOJ 1319