做法1：直接套用模拟退火算法
做法2：引入温度系数，启发式寻找圆心
做法3：随机增量算法
做法1直接使用模拟退火，当前能量值f(p)为以p为原点覆盖所有点最小圆半径。
做法2代码最为简单，首先类似于模拟退火，温度越高时，状态之间的跳动越剧烈。以nowp点为原点，计算出与n个点的距离，更新半径ans。然后确定离nowp最远的点P1，在nowp->P1的线段上根据当前温度确定一点，随着温度下降，跳动幅度越来越小，点的位置越来越趋近于准确值。
做法3：我们用 表示题目中的点。考虑使用增量算法，令 ， 则代表相对于 的最小外接圆。
定理：设 ，有：
（i） 若 ，则 ；（这个非常显然。）
（ii） 若 ，则 必然落在 的边界上。
（ii）部分“看起来”就是正确的。但是证明部分却不是那么容易。当然这个证明不是本节的重点，有兴趣的同学可以参看附录2。
因此我们很容易设计出基于定理的算法，每次插入 时判断其是否属于 ，不属于则枚举 和 ，并用张角进行判断。
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Algorithm MiniDisc Random_shuffle for i ß 3 to n if not (p[o[i]] in D) * for j ß 1 to i-1 * 以o[i]，o[j]为圆周上的点进行求解 return D |
如果不使用随机化，复杂度依然是 的（图2）。如果我们使用上文所描述的洗牌算法将 中元素的顺序打乱，复杂度如何呢？
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图2 |
取随机变量 ，若 ，则 ，否则 。算法在*处一共需要 的时间。因此，整个最小外接圆的算法复杂度就是
为了界定上述和式的期望值，我们需要利用期望的线性率（linearity of expectation）：一组随机变量总和的期望值，等于这些随机变量各自期望值的总和，即便其中的随机变量不是相互独立的，也依然满足这个性质。因此，总的运行时间的期望值为
而 是多少呢？它等于 的概率。但是这个问题比较棘手。
正难则反，我们从反方向看待这个问题。对于 ， 在它的边界上的概率是多少呢？ 是由 中的3个点构成的，恰好是 的概率则为 ，即 。因此该算法的时间复杂度就为
最后再次声明一点，这里所指出的“期望”，是相对于洗牌算法所给出的随机的顺序而言的，并不是对各种输入数据的平均。确切地讲，这个期望的时间复杂度和输入顺序完全没有关系。
至此，我们通过随机增量算法将原问题 的时间复杂度成功地优化至 。
（文献参考：感受随机的美——浅谈随机化思想在几何问题中的应用 IOI2008冬令营论文 顾研）
做法2代码：
#include <bits/stdc++.h>
//#include <unordered_map>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define N (50)
#define maxn (N + 10)
const ll mod = 998244353;
const ll INF = (1e18) + 10;
const double eps = 1e-3;
const double inf = 1e50;
const double rt = 0.998;
const double K = 1000.0;
struct point{
double x, y;
};
point p[maxn];
point nowp;
double ans;
int n;
double getdis(point a,point b){
double d1 = a.x - b.x,d2 = a.y - b.y;
return sqrt(d1 * d1 + d2 * d2);
}
void solve(){
double T = 100;
while(T > eps){
int idx;double cnt = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
double dis = getdis(nowp,p[i]);
if(dis > cnt){
cnt = dis;idx = i;
}
}
ans = min(ans,cnt);
nowp.x += ((p[idx].x - nowp.x) / cnt) * T;
nowp.y += ((p[idx].y - nowp.y) / cnt) * T;
T *= rt;
}
}
int main(){
while(scanf("%d",&n) != EOF){
if(n == 0)break;
nowp.x = 0;nowp.y = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++){
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
nowp.x += p[i].x;nowp.y += p[i].y;
}
nowp.x /= n;nowp.y /= n;ans = inf;
solve();
printf("%.2lf %.2lf %.2lf
",nowp.x,nowp.y,ans);
}
return 0;
}