整数规划(蒙特卡洛)

若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。

• 对于整数线性规划模型大致可分为两类：变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
• 变量部分限制为整数的，称混合整数规划。

原线性规划有优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解会出现：

• 原线性规划优解全是整数，则整数规划优解与线性规划优解一致。
• 整数规划无可行解。
• 有可行解（当然就存在优解），但优解值变差。

求解方法分类：

• 分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
• 割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
• 隐枚举法—求解“0-1”整数规划：过滤隐枚举法；分枝隐枚举法。
• 匈牙利法—解决指派问题（“0-1”规划特殊情形）。
• 蒙特卡洛法—求解各种类型规划。

蒙特卡洛最经典的应用就是求圆周率。

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define MAX_BASE 10000000

float Rand(float L, float R)
{
    return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}

float GetPi()
{
    srand(time(NULL));
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < MAX_BASE; ++i) {
        float x = Rand(-1, 1);
        float y = Rand(-1, 1);
        if (x * x + y * y <= 1)
            count++;
    }
    return count * 4.0 / MAX_BASE;
}

int main ()
{
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
        std::cout << GetPi() << std::endl;
    return 0;
}

蒙特卡洛积分的应用，如求自然常数。

积分：

即求阴影部分的面积。

假设满足

的点有m个，全部的点有n个，可得到近似公式为：

而用牛顿莱布尼兹公式可得：

两种方法得到的结果相同，即

#include <iostream>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#define MAX_BASE 10000000

struct Point {
    float x;
    float y;
}; 

inline float Rand(float L, float R)
{
    return L + (R - L) * rand() * 1.0 / RAND_MAX;
}

Point GetPoint()
{
    Point t;
    t.x = Rand(1.0, 2.0);
    t.y = Rand(0.0, 1.0);
    return t;
}

float GetResult()
{
    int m = 0;
    int n = MAX_BASE;
    
    srand(time(NULL));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        Point t = GetPoint();
        float result = t.x * t.y;
        if (result <= 1.0)
            m++;
    }
    return pow(2.0, 1.0 * n / m);
}

int main ()
{
    for (int i = 0; i < 10; ++i)
       std::cout << GetResult() << std::endl;
    return 0;
}

参考：ACdreamers的博客。