依据图的深度优先遍历和广度优先遍历,能够用最少的边连接全部的顶点,并且不会形成回路。
这样的连接全部顶点并且路径唯一的树型结构称为生成树或扩展树。实际中。希望产生的生成树的全部边的权值和最小,称之为最小生成树。
常见的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
Kruskal算法每次选取权值最小的边。然后检查是否增加后形成回路,假设形成回路则须要放弃。终于构成最小生成树。n个顶点的图最小生成树过程例如以下:
边的权值升序排序。
选取全部未遍历的边中权值最小的边,推断增加后是否形成回路,若形成回路,放弃之。又一次从未被遍历的边中选择。
反复上述步骤,直到选中n-1条边。
/*****************Kruskal算法********************/ struct Edge { int v1,v2;//顶点 int w;//边v1--v2权值 struct Edge *next;//指向下一条边 } //h为按边的权值升序排序的单链表 int Kruskal(Edge *h, int *visited) { int edgenum = 0;//记录生成树中边的个数 int weight = 0;//权值和 Edge *p = h; printf("最小生成树:(顶点1,顶点2,权值) "); while(edgenum != maximum)//maximum=顶点数,当边数=顶点数-1时结束 { if(visited[p->v1] == 0 ||visited[p->v2]==0) //新增边至少有一个顶点没有被訪问过 { printf("(%d,%d,%d)->",p->v1,p->v2,p->w); weight = weight + p->w; //权值和累加 visited[p->v1] = 1; visited[p->v2] = 1; edgenum++;//边数+1 } p = p->next; if(p==NULL)//无边可增加 { printf("spanning tree fail "); break; } } return weight; }
相比于Kruskal选边生成,Prim算法选择顶点生成最小生成树。
从某个顶点v開始,列出顶点 v 全部邻接点的边 选择权值最小的边(vi-->vj)增加到最小生成树中,并标记该边已被訪问过。
再从vj開始 列出顶点vj全部邻接点的边,从中选择全部未被訪问过的边中权值最小的边 vj-->vk 增加到最小生成树中,并标记该边已被訪问过。
反复上述操作。直到找到n-1条边为止。
以下直接贴代码:
/*******************Prims算法******************/ struct Edge { int v1,v2;//顶点 int w;//边v1--v2权值 int marked;//标识该边是否已经被加入到最小生成树中 struct Edge *next; } //h为边节点构成的链表,index表示開始顶点 void Prim(Edge *h,int * visited, int index) { Edge *p,*min;//min每次指向剩余边中中权值最小且 与上一个边共享顶点v1 int i; int edgenum =0;//已连接边数 int weight =0;//权值 int vertex; min = (Edge*)malloc(sizeof(Edge)); /***加入第一条边*******/ min->w = h->w;//最小边权值初值(可随意指定但小于全部边的权值,当然比越大越好) p = h; while(p!=NULL) { if(p->v1 ==index && (p->w < min->w)) min = p; //找到以index开头 且权值最小的边结点 p = p->next; } min->marked = 1;//该边已被訪问 visited[min->v1] = 1; visited[min->v2] = 1; //该边两个顶点被訪问过 edgenum++; weight = min->w; printf("(%d,%d,%d)->",min->v1,min->v2,min->w);//输出选中边 /***加入其余边*******/ while(edgenum != maximum) { min->w = h->w; p = h; while(p != NULL) { if(p->marked==0 && visited[p->v1]+visited[p->v2]==1)//边没有被訪问过 且有且仅仅有一个顶点被訪问,还有一顶点没有被訪问过 if(p->w < min->w) min = p; //找到权值最小的边 p = p->next; } min->marked = 1; visited[min->v1] =1; visited[min->v2] =1; edgenum++; weight += min->w; printf("(%d,%d,%d)->",min->v1,min->v2,min->w); } printf(" 总权值为:%d",weight); }