动态规划之最长公共子序列

问题引入

有两个串S1和S2，寻找第三个串S3，要求S3的所有内容都出现在S1和S2中，且在三个串中出现的顺序相同，但在S1和S2中不要求连续出现。

S3称为S1和S2的最长公共子序列（LCS）。

求解方案

在求X=<x1,x2,x3,...,xm>和Y=<y1,y2,y3,...yn>的一个Lcs时，需要求解一个或两个子问题：
1.如果xm = yn，就应该求解xm-1和yn-1的一个LCS。将xm和yn追加到这个Lcs上，就得到X和Y的Lcs
2.如果xm!=yn，则要求解两个子问题：求Xm-1和Y的一个Lcs与X和Yn-1的一个Lcs。两个Lcs中的较长者即为X和Y的一个Lcs。

很明显，上述求解方式满足动态规划的两个条件：最优子结构和子问题重叠

自底向上的动态规划求解

public class LongestCommonSubsequence {
    public static void main(String[] args) {
        String X = "ABCBDAB";
        String Y = "BDCABA";
        char[][] b = lcs(X,Y);
        char[] x = X.toCharArray();
        printLcs(b,x,X.length(),Y.length());
    }
    //动态规划自底向上计算
    static char[][] lcs(String X, String Y){
        char[] x = X.toCharArray();
        char[] y = Y.toCharArray();
        int m = x.length, n = y.length;
        char[][] b = new char[m][n];
        int[][] c = new int[m+1][n+1];
        //初始化c的第一行和第一列为0
        for (int i = 0;i <= m;i++){
            c[i][0] = 0;
        }
        for (int j = 0;j <= n;j++){
            c[0][j] = 0;
        }

        for (int i = 1;i <= m;i++){
            for (int j = 1;j <=n;j++){
                //如果比较结果相等，则c[i][j]为x[i-1]和y[j-1]最长公共子序列长度+1
                if (x[i-1] == y[j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                    b[i-1][j-1] = '↖';
                //结果不等，则c[i][j]取 x[i]与y[j-1]的最长公共子序列 和 x[i-1]与y[j]的最长公共子序列 中的较大者
                }else if (c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                    b[i-1][j-1] = '↑';
                }else {
                    c[i][j] = c[i][j-1];
                    b[i-1][j-1] = '←';
                }
            }
        }
        for (int i = 0;i < m+1;i++){
            for (int j = 0;j < n+1;j++){
                System.out.print(c[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
        for (int i = 0;i < m;i++){
            for (int j = 0;j < n;j++){
                System.out.print(b[i][j]);
            }
            System.out.println();
        }
        return b;
    }
    //b为lcs得到的二维数组；x为其中一个字符串(转换为字符数组)；m，n分别为两个字符串的长度
    static void printLcs(char[][] b,char[] x,int m,int n){
        if (m == 0 || n == 0){
            return;
        }
        //b[m-1][n-1]=='↖'对应的是x[m-1]和y[n-1]相等，于是递归调用printLcs从b[m-2][n-2]判断
        if (b[m-1][n-1] == '↖'){
            printLcs(b,x,m-1,n-1);
            System.out.print(x[m-1]);
        //x[m-1]和y[n-1]不等，递归调用printLcs从b[m-2][n-1]判断，因为b[m-1][n-1] == '↑'表示
        //x[i]与y[j-1]的最长公共子序列 和 x[i-1]与y[j]的最长公共子序列 中的较大者为后者
        }else if (b[m-1][n-1] == '↑'){
            printLcs(b,x,m-1,n);
        //x[m-1]和y[n-1]不等，递归调用printLcs从b[m-1][n-2]判断，因为b[m-1][n-1] == '←'表示
        //x[i]与y[j-1]的最长公共子序列 和 x[i-1]与y[j]的最长公共子序列 中的较大者为前者
        }else {
            printLcs(b, x, m, n-1);
        }
    }
}

运行结果如下：