线性代数10.四个基本子空间

四种基本子空间

这节课我们将研究四种基本子空间及其关系。

假设有 (m*n) 矩阵 (A)

四种基本子空间：

1）列空间 (C(A))

在 (R^m) 空间，因为列向量是 (m) 维的

2）零空间 (N(A))

在 (R^n) 空间，因为她是 (Ax=0) 的解，(x) 是 (n) 维向量

3）行空间 (C(A^{T}))

矩阵 (A) 所有行的线性组合，将矩阵转置，我们就能像以前像列空间一样处理，即变成 (A) 转置的列的所有的线性组合。

在 (R^n) 空间，因为 (A^T) 列向量是 (n) 维向量

4）(A) 转置的零空间，记为 (N（A^T）)，通常叫做左零空间，

在 (R^m) 空间，因为她是 (A^Tx=0) 的解，(x) 是 (m) 维向量

理解这些空间，我们需要解决两个问题：

1）她们各自的基是什么？

2）她们是几维空间？

列空间

假设有 (m*n) 矩阵 (A) ，矩阵的秩就是维数，就是主列的个数。

行空间的维数

行空间的维数也是 (r) 。

性质：

行空间和列空间维数相等 。

举例

[A=left( egin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \ 1 & 2 & 3 \ 2 & 5 & 8 \ end{array} ight) ]

从行空间角度看，很明显主行可以是 行1和行3，秩为2，行空间是个二维子空间。

根据性质，列空间也是2维。

零空间的维数

零空间维数为 (n-r) ,就是自由变量的个数。

特殊解可以构成零空间的一组基。

• 行空间和零空间都在 (R^n) ,行空间是 (r) 维，零空间是 (n-r) 维，两个加起来正好是 (n) ，也就是矩阵 (A) 的列的数目

类似于，有 (n) 个变量，(r) 个主变量， (n-r) 个是自由变量，加起来是 (n) .

左零空间的维数

左零空间的维数是 (m-r)

• 列空间和零空间都在 (R^m) ,列空间是 (r) 维，零空间是 $ m-r$ 维，两个加起来正好是 (m) ，也就是矩阵 (A^T) 的列的数目。

所以两个结论其实是一样的，两个维度加起来都等于列的数目。只不过 (A^T) 有 (m) 列，(A) 有 (n) 列。

列空间的基

前面我们已经知道，矩阵的主列可以构成列空间的一组基，

行空间的基

假设

[A=left( egin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ end{array} ight) ]

主列是列1和列2

我们对她进行消元：

[left( egin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \ 1 & 1 & 2 & 1 \ 1 & 2 & 3 & 1 \ end{array} ight) ightarrow left( egin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array} ight)=R ]

注意，(R) 的列空间不等于 (A) 的列空间。例如 (left( egin{array}{c} 1 \ 1 \ 1 \ end{array} ight)) 显然再 (A) 里面，但不在 (R) 里面。

• 初等行变换不会改变行空间，列空间发生了改变。

消元属于初等行变换，初等行变换包含三种类型：

1. 某一行，乘以一个非零倍数
2. 某一行，乘以一个非零倍数，加到另一行（列）
3. 某两行，互换

初等行变换不会改变行空间，

1. 行向量乘以倍数只是对向量进行缩放，
2. 行向量乘以一个倍数，加到另一行，显然结果是原来两行的线性运算，

前面说过，向量空间满足加法和数乘封闭性。所以进行线性变换后结果仍然在行空间中。

下面是截取知乎两个理解：

https://www.zhihu.com/question/66712234

• 上面两种情况都不会改变张成行空间的基，也就是保证行空间不变，零空间不变。

• 因为初等行变换都是线性变换，我举一个变换的例子好了。
  假设有两个行向量分别为a和b，且我现在做了个行变换比如把a变成a+mb（m是常数），我们来讨论a+mb和b的关系，因为mb和b肯定成线性关系，所以a+mb和b的关系就等价于a和b的关系，所以它俩还是该相关就相关，该不相关就不相关。
  其他的两种变换同样也可以证明。

• 行向量a1，a2，……an张成行空间。里面的任意向量都可表示为a1，a2……an的线性组合。对行向量的任意初等变换，变换后所得的行向量仍在行空间中。所以行空间没变，但列空间变了。若对列向量做初等变换，则列空间没变，行空间变。

所以 (A) 和 (R) 的行空间一样， (R) 行空间的基就是 (A) 行空间的基。

(R) 行空间的基就是前两行。

结论：

对于 (A、R) ，基都是 (R) 的前 (r) 行。

注意，不是 (A) 的前 (r) 行，因为这不一定成立，行变换不改变行空间，但可能改变基，该例子就不改变。

所以行空间的一组基就是 (left( egin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1 & 0 \ end{array} ight)) .

左零空间的基

为了和零空间区分，设为 (A^Ty=0) ,

左零空间和零空间的区别：

1. 求矩阵的左零空间,就是求一个让矩阵的行产生零行向量的行组合.
2. 求矩阵的零空间,就是求一个让矩阵的列产生零列向量的列组合.

为什么叫左零空间？

因为这里如果不矩阵 (A^T) 转置，式子中 (y) 就在左边。

两边转置，两矩阵相乘转置后需要反顺序相乘：

[y^T .A^{TT}=y^T .A=0 ]

(y^T) 对 (A) 左乘，所以称为左零空间.

但习惯上保留 (A^T.y=0) 形式.

怎么求她的基?

之前我们求解零空间是通过 (A) 化简为 (R) ,也许这些步骤可以揭示左零空间的秘密.

重新思考一下步骤,乘以一个什么矩阵能够使 (A) 变成 (R) ,

我们可以使用高斯-若尔当消元法,

[E[A_{m*n} quad I_{m *m}]=[R_{m* n} quad E_{m *m}] ]

所有引入的消元可以合并为左边的一个矩阵 (E) ,(E) 记录着对矩阵 (A) 所有的行初等变换.我们只需要在 (A) 后面加上单位阵,消元后就可以把它求出来,只不过之前我们用她来求可逆方阵的逆,可逆方阵消元后就是 (I) ，这时 (E=A^{-1})

现在, (E.A=R) ,因为 (A) 不可逆,她是长方形矩阵.

我们在 (A) 后面加上 单位阵,可以求出 (E) :

[left( egin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ -1 & 0 & 1 \ end{array} ight) ]

可以通过 (E.A=R) 检验她.

我们知道左零空间维数是 (m-r) ,所以这里 左零空间是一维空间,左零空间的基只有一个向量,说明存在一个线性组合使得 (A) 三行的结果为0,这个线性组合就是左零空间的基.

该例子这个向量就是等效消元矩阵 (E) 的最后一行.

左乘 (E) 最后一行 ,就是一个让矩阵 (A) 的行的线性组合为0的向量.

因为 (E) 是对 (A) 所有初等行变换的等效.

所以求左零空间的基,无法直接从 (R) 看出来,必须先和 (E) 联系起来 .