线性代数08.Ax=0：可解性和解的结构

本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。

这节课将转入求解 (Ax=b) ,可能有解也可能无解，如果有解，就要确定是唯一解还是多解，然后求出所有解。

举例

以上节课例子为例：

[x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=b_{1}\ 2x_{1}+4x_{2}+6x_{3}+8x_{4}=b_{2}\ 3x_{1}+6x_{2}+8x_{3}+10x_{4}=b_{3}\ ]

写成矩阵形式，对增广矩阵 ([A\, b]) 消元。

[left( egin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \ end{array} ight) ightarrow left( egin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-b_1 \ 0 & 0 & 0 & 0 & -b_1-b_2+b_3 \ end{array} ight) ]

可解性

消元后方程3，有

[0=b_3-b_2-b_1 ]

这就是有解的条件。满足 (b_1+b_2=b_3) .

因为行三是前两行的线性组合。

(Ax=0) 有解的条件：(b) 必须是 (A) 各列的线性组合，即(b) 属于 (C(A)).

该例子用另一种方式描述。就是：(A) 各行的线性组合得到零行，右侧向量同样的组合必须也是零。

算法

假设(b=left( egin{array}{c} 1 \ 5 \ 6 \ end{array} ight)) ,则有：

[left( egin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 & 4 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ end{array} ight) ]

第一步：求一个特解 (x_p)。

方法：

1）将所有自由变量设为0，因为自由变量可以任意取值，设为0方便计算。

2)然后解出主变量。

[x=left( egin{array}{c} x_1 \ 0 \ x_3 \ 0 \ end{array} ight) ]

回代

[x_1+2 x_3=1\ 2 x_3=3 ]

解得特解为：

[x_p=left( egin{array}{c} -2 \ 0 \ 3/2 \ 0 \ end{array} ight) ]

第二步：求出 (Ax=0) 零空间 (x_n)，将特解与零空间相加就是 (Ax=b) 所有的解。即：

[x=x_p+x_n ]

可以求得：

[x=left( egin{array}{c} -2 \ 0 \ 3/2 \ 0 \ end{array} ight)+c left( egin{array}{c} -2 \ 1 \ 0 \ 0 \ end{array} ight)+d left( egin{array}{c} 2 \ 0 \ -2 \ 1 \ end{array} ight) ]

完整解是(Ax=0) 的零空间沿着一个特解方向平移的结果。

注意完整解不是向量空间。

满秩

对于 (m*n) 矩阵 (A) ,秩为 (r) ,存在

[r≤m，r≤n ]

满秩分别对行列有两种情况。

列满秩

列满秩表示为 (r=n) 。

(n) 个主变量，0个自由变量。 零空间 (N(A)) 只有一个零向量，因为没有自由变量可以赋值。

(Ax=b) 唯一解。即 (x=x_p) .

此时只有0或1个解。

举例

上下消元后除以主元后化1：

[A=left( egin{array}{cc} 1 & 3 \ 2 & 1 \ 6 & 1 \ 5 & 1 \ end{array} ight) ightarrow left( egin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 \ 0 & 0 \ end{array} ight)=R ]

零空间除了0外，没有其他使得列的线性组和为0.所以(Ax=b) 的所有解的结构只有特解。

(Ax=b) 并不总是有解，只有 (b) 是(A) 各列的线性组合时才有解。

行满秩

行满秩表示为 (r=m) 。

可解性，只要满足消元时不会出现零行即可，因为

(Ax=b) 对于所有的 (b) 都有解。

行满秩，有 (m) 个主变量，(n-m) 个自由变量。举例

[A=left( egin{array}{cccc} 1 & 2 & 6 & 5 \ 3 & 1 & 1 & 1 \ end{array} ight) ightarrow left( egin{array}{cccc} 1 & 0 & -frac{4}{5} & -frac{3}{5} \ 0 & 1 & frac{17}{5} & frac{14}{5} \ end{array} ight)=R ]

(left( egin{array}{cc} -frac{4}{5} & -frac{3}{5} \ frac{17}{5} & frac{14}{5} \ end{array} ight)) 即为 (-F) ,将构成零空间矩阵。

满秩方阵

满秩方阵表示为 (r=m=n) 。这种情况一定出现在方阵上。

[A=left( egin{array}{cc} 1 & 2 \ 3 & 1 \ end{array} ight) ightarrow R=I ]

(A) 可逆。(Ax=0) 零空间 只有零向量。(Ax=b) 对于所有的 (b) 都有解。但是 (x) 唯一解。

总结

矩阵的秩决定了方程组解的数目。

1.r=m=n

(R=I),

(Ax=b) 唯一解。

2.r=n<m

(R=left( egin{array}{c} I \ 0 \ end{array} ight))

(Ax=b) 有0或者1个解。

3.r=m<n

(R=(IF)) ,(I) 可能都在前面，也可能(I) 和 (F) 相间交叉出现。

(Ax=b) 无穷多解。因为总有零空间处理。

3.r<m,r<n

(R=left( egin{array}{c} IF \ 00 \ end{array} ight))

(Ax=b) 要么无解，因为有些 (b) 不满足 “0=0”，要么无穷解。