【BZOJ4827】【HNOI2017】礼物（FFT）

【BZOJ4827】【HNOI2017】礼物（FFT）

题面

Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一
个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突
然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有
装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，
但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差
异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，
其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物
亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： (sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2)麻烦你帮他
计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。
接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。
(1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m)

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。
注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

Sample Output

1

【样例解释】

需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第

二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为

：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

题解

太神奇了，我果然菜爆
首先把公式写成

[sum_{i=1}^n(x_i-y_{i+k}+C)^2 ]

其中C是亮度的增加值（一个增加相当于另一个减小，所以(Cin[-m,m])）
拆开之后，有一些常数项，两个带(C)的项，以及一个(-2sum_{i=1}^n x_iy_{i+k})
显然，现在问题变成了求(sum x_i y_{i+k})的最大值

然后我就只会(O(n^2))了。。。

题解告诉我们，看到这样的式子，往FFT上面靠
我们把其中一个数列反过来再在后面接一遍
这样子的话，两个数列当做多项式做卷积
手玩之后发现，(sum x_i y_{i+k})就是卷积(x^{(n+k-1)})项的系数
然后，(m<=100)，暴力枚举一下m就可以求解了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<complex>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
const double Pi=acos(-1);
#define MAX 2000000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int N,M,r[MAX],l,n,m;
int s1[MAX],s2[MAX],S[MAX],ans=1e9;
complex<double> a[MAX],b[MAX];
void FFT(complex<double> *P,int opt)
{
	for(int i=0;i<N;++i)if(i<r[i])swap(P[i],P[r[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		complex<double> W(cos(Pi/i),opt*sin(Pi/i));
		for(int p=i<<1,j=0;j<N;j+=p)
		{
			complex<double> w(1,0);
			for(int k=0;k<i;k++,w*=W)
			{
				complex<double> X=P[j+k],Y=w*P[j+k+i];
				P[j+k]=X+Y;P[j+k+i]=X-Y;
			}
		}
	}
}
void Pre()
{
	N=n-1;M=n+n-1;
	for(int i=0;i<=N;++i)a[i]=s1[i+1];
	for(int i=0;i<n;++i)b[i]=s2[n-i];
	for(int i=0;i<n;++i)b[i+n]=b[i];
	M+=N;
	for(N=1;N<=M;N<<=1)++l;
	for(int i=0;i<N;++i)r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	FFT(a,1);FFT(b,1);
	for(int i=0;i<N;++i)a[i]=a[i]*b[i];
	FFT(a,-1);
	for(int i=0;i<=M;++i)S[i]=(int)(a[i].real()/N+0.5);
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)s1[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)s2[i]=read();
	Pre();
	int p1=0,p2=0,t1=0,t2=0,gg=-1e9;
	for(int i=1;i<=n;++i)p1+=s1[i]*s1[i],p2+=s2[i]*s2[i],t1+=s1[i],t2+=s2[i];
	for(int i=n-1;i<n+n;++i)gg=max(gg,S[i]);
	for(int C=-m;C<=m;++C)
	{
		int tot=p1+p2+n*C*C+2*C*(t1-t2)-2*gg;
		ans=min(tot,ans);
	}
	printf("%d
",ans);
	return 0;
}