莫比乌斯反演
初学莫比乌斯反演
先膜一发高神：orz Gay神
莫比乌斯反演
有两种形式。。。
第一种：
如果我们有函数(f(x))，以及(g(x))，并且有：
[g(x)=sum_{d|x}f(d)
]
那么，我们就有：
[f(x)=sum_{d|x}mu(frac{x}{d})g(d)
]
具体的证明嗷。。。
参考《具体数学》第4章（貌似是公式(4.56)）
第二种：
如果我们有函数(f(x))，以及(g(x))，并且有：
[g(x)=sum_{x|d}^{n}f(d)
]
其中n是我们限定的一个范围
那么，我们可以得到：
[f(x)=sum_{x|d}^{n}mu(frac{d}{x})g(d)
]
证明和上面那个其实是类似的
至于(mu)函数，叫做莫比乌斯函数
他本身的定义是：
[sum_{d|x}mu(d)=[x==1]
]
说成人话就是：
(mu(1)=1)，而往后面的所有(mu(x)) ((x>1))
都有
[mu(x)=-sum_{d|x且d≠x}mu(d)
]
还是看不懂吧。。（我也不懂。。）
还是写个简单点的形式。。。
这种是一种讨论的形式
①(x=p_1p_2p_3...p_n) 此时(mu(x)=(-1)^n)
②(x=p^2·d) 此时(mu(x)=0)
③(x=1) (mu(x)=1)
剩下的，就是怎么运用的问题啦。。。