【BZOJ4061】[Cerc2012]Farm and factory（最短路，构造）
题面
BZOJ
然而权限题QwQ。
题解
先求出所有点到达(1,2)的最短路，不妨记为(d_{u,1},d_{u,2})。
那么假设新点是(x)，任意一个点(u)。
那么可以得到几个不等式：(d_{u,1}le d_{u,x}+d_{x,1},d_{u,2}le d_{u,x}+d_{x,2})。同理还有几个类似的不等式。
而题目限制又要求(d_{u,x})最小，
因此(d_{u,x}=max{|d_{u,1}-d_{x,1}|,|d_{u,2}-d_{x,2}|})
那么把这个东西看成切比雪夫距离，距离某个点切比雪夫距离相等的点是一个正方形，
旋转(45°)之后，发现是一个菱形，转成了曼哈顿距离。
而曼哈顿距离两维可以拆开计算，所以只需要对于两维求中位数即可。
详细点吧QwQ，假装要求的是(max{|x1-x2|,|y1-y2|})
那么转成(max{x1-x2,x2-x1,y1-y2,y2-y1})
令(x3=x1+y1,y3=x1-y1,x4=x2+y2,y4=x2-y2)。
那么上面的东西可以变成
(frac{1}{2}max{x3+y3-x4-y4,x4+y4-x3-x4,x3-y3-x4+y4,x4-y4-x3+y3})
化个简就是(frac{1}{2}(|x3-x4|+|y3-y4|))。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAXN 100100
#define MAXM 300300
struct Line{int v,next;double w;}e[MAXM<<1];
int h[MAXN],cnt=1;
inline void Add(int u,int v,double w){e[cnt]=(Line){v,h[u],w};h[u]=cnt++;}
double Dis[2][MAXN];
int n,m;
struct Node{int u;double d;};
bool operator<(Node a,Node b){return a.d>b.d;}
priority_queue<Node> Q;bool vis[MAXN];
void Dijkstra(int S,double *dis)
{
while(!Q.empty())Q.pop();
for(int i=1;i<=n;++i)vis[i]=false,dis[i]=1e18;
dis[S]=0;Q.push((Node){S,0});
while(!Q.empty())
{
Node u=Q.top();Q.pop();
if(vis[u.u])continue;vis[u.u]=true;
for(int i=h[u.u];i;i=e[i].next)
if(dis[e[i].v]>dis[u.u]+e[i].w)
{
dis[e[i].v]=dis[u.u]+e[i].w;
Q.push((Node){e[i].v,dis[e[i].v]});
}
}
}
double X[MAXN],Y[MAXN];
void Work()
{
scanf("%d%d",&n,&m);cnt=1;
for(int i=1;i<=n;++i)h[i]=0;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
int u,v;double w;
scanf("%d%d%lf",&u,&v,&w);
Add(u,v,w);Add(v,u,w);
}
Dijkstra(1,Dis[0]);Dijkstra(2,Dis[1]);
for(int i=1;i<=n;++i)X[i]=Dis[0][i]+Dis[1][i];
for(int i=1;i<=n;++i)Y[i]=Dis[0][i]-Dis[1][i];
sort(&X[1],&X[n+1]);sort(&Y[1],&Y[n+1]);
double ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=fabs(X[i]-X[(n+1)/2]);
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=fabs(Y[i]-Y[(n+1)/2]);
ans/=2*n;printf("%.10lf
",ans);
}
int main()
{
int T;scanf("%d",&T);while(T--)Work();
return 0;
}