没有 Preface。
维护一个长度为 (n) 的数列 (A) ，需要支持以下操作：
-
0 x y将 (A_x) 改为 (y) 。 -
1 x y求 (maxlimits_{x leq l leq r leq y}{sum_{i=l}^rA[i]}) 。
区间最大子段和 是一个非常经典的问题。
对于 整体最大子段和 来说，一般有 (O(n)) 的 贪心 和 分治 做法，我们讨论的重点是 分治 做法。
(~)
假设当前需求解最大子段和的区间是 ([l,r]) ，令 (mid=leftlfloordfrac{l+r}{2} ight floor)
我们套路地把 ([l,r]) 分成 ([l,mid]) 和 ([mid+1,r]) ，来进行分治求解：
(~)
首先对于形如 ([l,l]) 的区间，就十分好处理了，这里不多说。
(~)
接下来，考虑下最大子段和满不满足 区间可加性 ?（([l,mid]) 和 ([mid+1,r]) 的最大子段和能否推至 ([l,r])）
显然，只维护一个最大子段和，对 左子区间 和 右子区间 的最大子段和取个 (max) 是不能维护最大子段和的，因为其漏掉了 最大子段和同时包含左子区间和右子区间 的情况。
那么对于剩下的这一种情况，它是必定经过中点 (mid) 的，那这种情况的最大段就是 左子区间从右端点向左走的最大段 与 右子区间从左端点向右走的最大段 的并集，其值为 左子区间的后缀最大子段和 (+) 右子区间的前缀最大字段和 。
那我们再维护 前 (/) 后 缀最大子段和 ，对其三者取 (max) ，最大子段和就满足区间可加性了。
维护 前 (/) 后 缀最大子段和 依旧可以分成 经过 (mid) (/) 不经过 (mid) 来讨论。
以前缀最大子段和为例，若经过 (mid) ，则最大段为 左子区间 与 右子区间从左端点向右走的最大段 的并集，其值为 左子区间和 (+) 右子区间的前缀最大子段和 ；若不经过 (mid) ，则最大段为 左子区间从左端点向右走的最大段 。二者取个 (max) 即可。后缀最大子段和同理。
那我们再维护个 区间和 ，那 最大子段和 ，前 (/) 后 缀最大子段和 就都满足区间可加性了。
至于 区间和 (......) ，这玩意直接加就行了。
（上述内容大家可以自己画图感性理解一下
(~)
求解过程
约定变量：
(sum) : 区间和
(lmax) : 区间前缀最大子段和
(rmax) : 区间后缀最大子段和
(wmax) : 区间最大子段和
设函数 (ask(l,r)) 求的是关于区间 ([l,r]) 的一个四元组(() (sum), (lmax), (rmax), (wmax) ())
首先有一个递归边界 (l=r) ，此时这四个元素均为 (A_l) 。
那对于一般情况，令 (lc=ask(l,mid),rc=ask(mid+1,r)) ，则有：
此时 (self) 即为 (ask(l,r)) 。
struct data{
int sum;
int lmax;
int rmax;
int wmax;
};
data ask(int l,int r)
{
data self;
if(l==r)
{
self.sum=self.lmax=self.rmax=self.wmax=A[l];
return self;
}
int mid=(l+r)/2;
data lc=ask(l,mid),rc=ask(mid+1,r);
self.sum=lc.sum+rc.sum;
self.lmax=max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax);
self.rmax=max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax);
self.wmax=max(max(lc.wmax,rc.wmax),lc.rmax+rc.lmax);
return self;
}
(~)
然后你会发现，若对于每个询问都调用一次 ask(l,r) 会稳稳 T 掉
那我 bb 这么多有什么用呢
大家仔细想想，这个分治的过程像不像某个数据结构呢？
线段树？
线段树！
是的，用线段树维护，每个节点保存的是该节点所代表的区间 ([l,r]) 的 (() (sum), (lmax), (rmax), (wmax) ()) 。
剩下的都是一些线段树基本操作了。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define RI register int
using namespace std;
const int SIZE=500100;
int n,m;
int a[SIZE];
struct SegmentTree{
int l,r;
int sum;
int lmax;
int rmax;
int dat;
}t[SIZE*4];
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l;t[p].r=r;
if(l==r){t[p].sum=t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].dat=a[l];return;}
int mid=(l+r)/2;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
t[p].lmax=max(t[p*2].lmax,t[p*2].sum+t[p*2+1].lmax);
t[p].rmax=max(t[p*2+1].rmax,t[p*2+1].sum+t[p*2].rmax);
t[p].dat=max(max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat),t[p*2].rmax+t[p*2+1].lmax);
}
void change(int p,int x,int val)
{
if(t[p].l==t[p].r){t[p].sum=t[p].lmax=t[p].rmax=t[p].dat=val;return;}
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
if(x<=mid)change(p*2,x,val);
else change(p*2+1,x,val);
t[p].sum=t[p*2].sum+t[p*2+1].sum;
t[p].lmax=max(t[p*2].lmax,t[p*2].sum+t[p*2+1].lmax);
t[p].rmax=max(t[p*2+1].rmax,t[p*2+1].sum+t[p*2].rmax);
t[p].dat=max(max(t[p*2].dat,t[p*2+1].dat),t[p*2].rmax+t[p*2+1].lmax);
}
SegmentTree ask(int p,int l,int r)
{
if(l<=t[p].l&&t[p].r<=r)return t[p];
int mid=(t[p].l+t[p].r)/2;
if(l<=mid&&mid<r)
{
SegmentTree lc=ask(p*2,l,r),rc=ask(p*2+1,l,r),self;
self.sum=self.lmax=self.rmax=self.dat=0;
self.sum=lc.sum+rc.sum;
self.lmax=max(lc.lmax,lc.sum+rc.lmax);
self.rmax=max(rc.rmax,rc.sum+lc.rmax);
self.dat=max(max(lc.dat,rc.dat),lc.rmax+rc.lmax);
return self;
}
if(l<=mid)
return ask(p*2,l,r);
if(mid<r)
return ask(p*2+1,l,r);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(RI i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
build(1,1,n);
scanf("%d",&m);
while(m--)
{
char op[2];
int l,r;
scanf("%s%d%d",op,&l,&r);
switch(op[0])
{
case '1':{
if(l>r)swap(l,r);
printf("%d
",ask(1,l,r).dat);
break;
}
case '0':{
change(1,l,r);
break;
}
}
}
return 0;
}