首先
[h_n=sum_{i}h_ih_{n-i-1}
]
写出 (h) 的母函数 (H(x))
那么
[H(x)=H^2(x)x+1,H(x)=frac{1-sqrt{1-4x}}{2x}
]
(解二元一次方程取符号时候要看是否收敛)
引入牛顿二项式
[(x+y)^{alpha}=sum_{k=0}^{infty}inom{alpha}{k}x^{alpha-k}y^{k}
]
其中
[inom{alpha}{k}=prod_{i=1}^{k}frac{alpha - i + 1}{i}
]
展开可以得到
[H(x)=frac{1-sum_{k=0}^{infty}inom{frac{1}{2}}{k}(-4x)^k}{2x}
]
[=-frac{1}{2}sum_{k=0}^{infty}inom{frac{1}{2}}{k+1}(-4)^{k+1}x^k
]
[=2sum_{k=0}^{infty}inom{frac{1}{2}}{k+1}(-4x)^k
]
那么
[h_n=2inom{frac{1}{2}}{n+1}(-4x)^n=2frac{prod_{i=0}^{n}(frac{1}{2}-i)}{(n+1)!}(-1)^n2^{2n}
]
[=frac{prod_{i=0}^{n}(1-2i)}{(n+1)!}(-1)^n2^n=frac{prod_{i=1}^{n}(2i-1)}{(n+1)!}2^n=frac{(2n-1)!!}{(n+1)!}2^n
]
而
[(2n-1)!!+2^nn!=(2n)!
]
所以
[h_n=frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=frac{1}{n+1}inom{2n}{n}
]
完美解决