Luogu P5655 基础数论函数练习题

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首先考虑这样表示答案：(ans_{l,r}=prodlimits_{i=l}^rb_i)，其中(b_i=frac{a_i}{gcd(a_i,prodlimits_{j=l}^{i-1}b_j)}=frac{a_i}{gcd(a_i,(prodlimits_{j=l}^{i-1}b_j)mod a_i)})。
那么这样我们就可以得到一个(O(n^2qTlog a))的暴力算法。
现在有多组询问，我们考虑预处理所有答案。
同样的，假设我们现在固定右端点为(r)，我们希望能够处理出一个({b})，使得(ans_{l,r}=prodlimits_{i=l}^rb_i)，即(b_i=frac{a_i}{gcd(a_i,prodlimits_{j=i+1}^rb_j)})。
那么我们插入(a_i)时，需要做的操作就是(b_ileftarrow a_i)，然后从后往前更新(b_jleftarrowfrac{b_j}{gcd(b_j,prodlimits_{k=j+1}^ib_k)}(j<i))。
设(b_jleftarrowfrac{b_j}{c_j})，那么(c_j=gcd(frac{b_i}{prodlimits_{k=j+1}^ic_k},b_j))。
这样做的时间复杂度为(O(Tn^2log n))，无法通过。
考虑优化(gcd)，我们知道插入(a_i)时，(c_j)只有(O(log a))个不为(1)。
令(s_j=prodlimits_{k=j}^{i-1}b_kmod b_i)，那么(prodlimits_{k=j}^{i-1}c_k=gcd(s_j,b_i))。
从前往后利用取模判断(gcd(s_j,b_i))是否减小来更新即可。

#include<cctype>
#include<cstdio>
using i64=long long;
const int N=307,P=1000000007;
int ans[N][N];i64 a[N],b[N];
i64 read(){i64 x=0;int c=getchar();while(isspace(c))c=getchar();while(isdigit(c))(x*=10)+=c&15,c=getchar();return x;}
i64 mul(i64 a,i64 b,i64 p){i64 d=a*b-(i64)((long double)a/p*b+0.5)*p;return d<0? d+p:d;}
i64 gcd(i64 n,i64 m){return !n||!m? n|m:gcd(m,n%m);}
int main()
{
    for(int T=read(),n,q;T;--T)
    {
	n=read(),q=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
	    a[i]=read(),b[i]=1,ans[i][i]=a[i]%P;
	    for(int j=i-1;j;--j) b[j]=mul(a[j],b[j+1],a[i]);
	    i64 g=gcd(b[1],a[i]),t;
	    for(int j=1;j<i;++j) if((t=b[j+1]%g)) t=gcd(t,g),a[j]/=g/t,g=t;
	    for(int j=i-1;j;--j) ans[i][j]=1ll*ans[i][j+1]*(a[j]%P)%P;
	}
	for(int l,r;q;--q) l=read(),r=read(),printf("%d
",ans[r][l]);
    }
}