Preface
说实话2-SAT的题目我都没怎么做过，所以这里讲的都是些超入门什么的
还有一些板子题，由于是暑假的时候学的所以有些我也记不清了
主要学习参考自：Manchery的课件&&dalao's blog&&Another dalao
What is 2_SAT?
SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 。一般形式为k-适定性问题，简称 k-SAT。
可以证明，当(k>2)时，k-SAT是NP完全的。因此一般讨论的是(k=2)的情况，即2-SAT问题。
我们通俗的说，就是给你(n)个变量(a_i)，每个变量能且只能取(0/1)的值。同时给出若干条件，形式诸如((not)a_ioperatorname{opt}(not) a_j=0/1)，其中(opt)表示(and,or,xor)中的一种
而求解2-SAT的解就是求出满足所有限制的一组(a)
Change 2-SAT into Graph Theory
首先我们考虑将2-SAT问题往图论的方向靠，我们发现每个点要么取(0)，要么取(1)。因此对于(a_i)，我们建两个点(2i-1)与(2i)分别表示(a_i)取(0)和(1)
然后我们考虑建边来表示这些关系，我们令一条有向边的意义：(x o y)表示如果选择了(x)就必须选(y)
那么我们可以举一些简单的例子来总结下连边的规律（用(i')表示(i)的反面）：
- (i,j)不能同时选：选了(i)就要选(j')，选(j)就要选(i')。故(i o j',j o i')。一般操作即为(a_i operatorname{xor} a_j=1)
- (i,j)必须同时选：选了(i)就要选(j)，选(j)就要选(i)。故(i o j,j o i)。一般操作即为(a_i operatorname{xor} a_j=0)
- (i,j)任选（但至少选一个）选一个：选了(i)就要选(j')，选(j)就要选(i')，选(i')就要选(j)，选(j')就要选(i)。故(i o j',j o i',i' o j,j' o i)。一般操作即为(a_i operatorname{or} a_j=1)
- (i)必须选：直接(i' o i)，可以保证无论怎样都选(i)。一般操作为给出的(a_i=1)或(a_i operatorname{and} a_j=1)
建好图然后就是考虑怎么用图论的方式解决2-SAT了。
How to solve 2-SAT——DFS
- 对于每个当前不确定的变量(a_i)，令(a_i=0)然后沿着边DFS访问相连的点。
- 检查如果会导致任意一个(j)与(j')都被选，那么撤销。否则令(a_i=0)
- 否则令(a_i=1)，重复2。如果还不行就无解。
- 继续考虑下一个不确定的变量
这样的话正确性显然，由于这里的DFS涉及到全局，因此复杂度是(O(n(n+m)))的。
一般情况下已经很优秀了，而且还可以改进：
只需要在DFS之前判断(i')能否走到(i)就可以省略撤销标记的过程，所以我们可以bitset优化传递闭包做到(O(frac{n^3}{w}))预处理，然后就可以(O(n+m))的DFS了。
这种做法还可以保证解的字典序，有时不失为一种不错的方法。
How to solve 2-SAT——SCC
考虑我们上面的判断有无解的情况，我们想到完全可以借助SCC来判断两个点是否互相到达。
那么我们先缩点，如果(i)与(i')在同一SCC里那么显然无解。
否则选择(i)与(i')中拓扑序较大的一个就可以得到一组可行解。
不是很常用（主要是一般题目的数据范围都不需要），用来判可行性比较好。
两道例题
- HDU 3062Party 2-SAT建图后判断可行性即可。
- HDU 1814Peaceful Commission 2-SAT建图后求字典序最小解，就用DFS的方法不预处理也可以过。
Postscript
这真的是一篇超入门博客，没有涉及特别多的难点以及姿势。
像数据结构优化建图我是肯定不会的啦，最后推荐一道比较有难度的2-SAT好题：Luogu P3825 [NOI2017]游戏&&Sol