BZOJ 3571: [Hnoi2014]画框

这个算是常见套路题，记得暑假里做过BZOJ2395 time is money，然后发现这两个是一个套路的

首先我们考虑将两维单独考虑，令(x=sum_{i=1}^n a_{i,p_i},y=sum_{i=1}^n b_{i,p_i})，那么我们可以把一种匹配方式看作平面上的一个点((x,y))

考虑最后我们所求的答案(k=xy)，即(y=frac{k}{x})，为反比例函数，那么显然我们要找的点肯定在靠近原点的下凸壳上

既然这样，我们不妨找出位于凸壳上的两点(A,B)，(A)满足(sum_{i=1}^n a_{i,p_i})最小，(B)满足(sum_{i=1}^n b_{i,p_i})最小

然后我们作出线段(AB)，考虑在靠近原点的一侧找一个点(C)，使得这个点离原点尽量近

那么此时显然(C)满足(S_{ riangle ABC} max)，换句话说就是(vec{AB} imes vec{AC}min)（因为是负的）

考虑我们展开它:

[vec{AB} imes vec{AC}\=(B_x-A_x) imes(C_y-A_y)-(B_y-A_y) imes (C_x-A_x)\=(A_y-B_y) imes C_x+(B_x-A_x) imes C_y+cdots ]

其中(cdots)都是只与(A,B)有关的项，因此我们再找出满足((A_y-B_y) imes C_x+(B_x-A_x) imes C_y)最小的点(C)

可是(C)也不一定是最优的啊，没事我们发现此时我们又有了两条线段(AC,CB)，直接递归下去做就好了

边界显然是找不到这样的(C)点，即(vec{AB} imes vec{AC}ge 0)

然后找到这样的点的过程显然就是个最大权匹配，直接上KM即可，复杂度(O( ext{很快}))

#include<cstdio>
#include<iostream>
#define RI register int
#define CI const int&
using namespace std;
const int N=150,INF=1e9;
struct point
{
	int x,y;
	inline point(CI X=0,CI Y=0) { x=X; y=Y; }
}; int t,n,w[N][N],a[N][N],b[N][N],ans;
inline point operator - (const point& A,const point& B)
{
	return point(A.x-B.x,A.y-B.y);
}
inline int Cross(const point& A,const point& B)
{
	return A.x*B.y-A.y*B.x;
}
namespace KM
{
	int dx[N],dy[N],rsd[N],fr[N]; bool vx[N],vy[N];
	inline void build(CI rx,CI ry)
	{
		for (RI i=1,j;i<=n;++i) for (j=1;j<=n;++j)
		w[i][j]=-(rx*a[i][j]+ry*b[i][j]);
	}
	inline bool find(CI now)
	{
		vx[now]=1; for (RI to=1;to<=n;++to) if (!vy[to])
		{
			int dlt=dx[now]+dy[to]-w[now][to];
			if (!dlt) { vy[to]=1; if (!~fr[to]||find(fr[to])) return fr[to]=now,1; }
			else rsd[to]=min(rsd[to],dlt);
		}
		return 0;
	}
	inline point KM(void)
	{
		RI i,j; for (i=1;i<=n;++i) fr[i]=-1,dx[i]=-INF,dy[i]=0;
		for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=n;++j) dx[i]=max(dx[i],w[i][j]);
		for (i=1;i<=n;++i)
		{
			for (j=1;j<=n;++j) rsd[j]=INF; for (;;)
			{
				for (j=1;j<=n;++j) vx[j]=vy[j]=0; if (find(i)) break;
				int dlt=INF; for (j=1;j<=n;++j) if (!vy[j]) dlt=min(dlt,rsd[j]);
				for (j=1;j<=n;++j) if (vx[j]) dx[j]-=dlt;
				for (j=1;j<=n;++j) if (vy[j]) dy[j]+=dlt; else rsd[j]-=dlt;
			}
		}
		point ret; for (i=1;i<=n;++i) ret.x+=a[fr[i]][i],ret.y+=b[fr[i]][i]; return ret;
	}
};
inline void solve(const point& A,const point& B)
{
	KM::build(A.y-B.y,B.x-A.x); point C=KM::KM(); ans=min(ans,C.x*C.y);
	if (Cross(B-A,C-A)>=0) return; solve(A,C); solve(C,B);
}
int main()
{
	for (scanf("%d",&t);t;--t)
	{
		RI i,j; for (scanf("%d",&n),i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=n;++j)
		scanf("%d",&a[i][j]); for (i=1;i<=n;++i) for (j=1;j<=n;++j)
		scanf("%d",&b[i][j]); point A,B;
		KM::build(1,0); A=KM::KM(); KM::build(0,1); B=KM::KM();
		ans=min(A.x*A.y,B.x*B.y); solve(A,B); printf("%d
",ans);
	}
	return 0; 
}