题面在这里
题意
你要集齐(n)张卡,第(i)张卡抽到的概率为(p_i)SSR,求集齐(n)张卡期望的抽卡次数
数据范围
[1le nle 20,sum_{i=1}^{n}p_ile 1
]
sol
首先在此郑重声明本人不玩阴阳师和LL
朴素的状压DP即可解决此题;
使用一个20位的01向量记录每张卡是否抽到的期望次数,
由于单独考虑每张卡被抽到的期望次数是(frac{1}{p}),
所以可以(O(n))转移,时间复杂度为(O(n2^n))
然而这里要讲的并不只有这个东西
Maximum-minimums 恒等式 和 Min-Max容斥
部分公式和文字摘自Wiki百科
Maximum-minimums 恒等式为
[max{x_1,x_2,...,x_n}=sum_{i=1}^{n}x_i-sum_{i<j}min{x_i,x_j}
]
[+sum_{i<j<k}min{x_i,x_j,x_k}+...+(-1)^{n+1}min{x_1,x_2,...,x_n} (1)
]
and
[min{x_1,x_2,...,x_n}=sum_{i=1}^{n}x_i-sum_{i<j}max{x_i,x_j}
]
[+sum_{i<j<k}max{x_i,x_j,x_k}+(-1)^{n+1}max{x_1,x_2,...,x_n} (2)
]
上式的证明比较简单,在此证明公式((1)):
设数组({x_i})排序后为({x_i^*}),那么显然方程左右都出现一次(x_n^*),
对于(1le i<n),其在右式出现次数为(sum_{j=0}^{i}C_i^j=0)(二项式定理).
推出我们需要的公式之前,首先介绍一个东西...
示性变量:表示事件是否发生的变量,
例如假设事件(A)的示性变量为(x),如果这个事件发生那么(x=1),否则(x=0)
设事件(A_1,A_2,A_3,...,A_n)的示性变量分别为(x_1,x_2,x_3,...,x_n),
那么根据公式((1))有
[max{x_1,x_2,...,x_n}=sum_{i=1}^{n}x_i-sum_{i<j}max{x_i,x_j}
]
[+sum_{i<j<k}max{x_i,x_j,x_k}+...+(-1)^{n+1}max{x_1,x_2,...,x_n}
]
[ herefore 1-prod_{i=1}^{n}x_i=sum_{i=1}^{n}x_i-sum_{i<j}x_ix_j+sum_{i<j<k}{x_ix_jx_k}+...+(-1)^{n+1}prod_{i=1}^{n}x_i
]
(到之后证明就萎了,如有大神能更好地证明欢迎指出)
由于等号两边的事件本质上是相同的,
[ herefore E(1-prod_{i=1}^{n}x_i)=E(sum_{i=1}^{n}x_i-sum_{i<j}x_ix_j+sum_{i<j<k}{x_ix_jx_k}+...+(-1)^{n+1}prod_{i=1}^{n}x_i)
]
那么
[E(igcup_{i=1}^{n}A_i)=sum_{i=1}^{n}E(A_i)-sum_{i<j}E(A_icap A_j)+sum_{i<j<k}{E(A_icap A_jcap A_k)}+...
]
[+(-1)^{n+1}prod_{i=1}^{n}E(igcap_{i=1}^{n}x_i)
]
代码
#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define mp make_pair
#define pub push_back
#define puf push_front
#define pob pop_back
#define pof pop_front
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=1e8;
const int N=1000010;
il ll read(){
RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
return data*w;
}
il void file(){
freopen(".in","r",stdin);
freopen(".out","w",stdout);
}
int n;
dd p[N],ans;
void dfs(int x,dd k,dd ret){
//printf("dfs:%d
",x);
if(x==n+1){if(ret>eps)ans+=k/ret;return;}
dfs(x+1,k,ret);dfs(x+1,-k,ret+p[x]);
}
int main()
{
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
for(RG int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf",p+i);
ans=0;dfs(1,-1,0);printf("%lf
",ans);
}
return 0;
}