题面在这里
题意
P教授有(n)个玩具，第(i)个玩具的长度为(c_i)，
把这(n)个玩具分成若干段，
每一段的长度为(x=(r-l+sum_{k=l}^{r}{c_k})^2)，代价为((x-L)^2)，
求把(n)个玩具分成若干段的最小代价
数据范围
[1le Nle50000,1le L,c_ile10^7
]
sol
记(sum[i]=sum_{k=1}^{i}c[k])
我们很快就可以想到一个朴素的DP:设(f[i])为只考虑前(i)个玩具的最小代价，有
[f[i]=min_{j=0}^{i-1}{[f[j]+(i-j-1+s[i]-s[j]-L)^2]}
]
(1D/1D)，复杂度为(O(n^2))
斜率优化(单调队列)
记(sum[k]=s[k]+k)，(l=L+1)，有
[f[i]=min_{j=0}^{i-1}{[f[j]+(sum[i]-sum[j]-l)^2]}
]
[=min_{j=0}^{i-1}{[f[j]+(sum[i]-l)^2+sum[j]^2-2 sum[j](sum[i]-l)]}
]
[=min_{j=0}^{i-1}{[f[j]+sum[j]^2-2 sum[j](sum[i]-l)]}+(sum[i]-l)^2
]
外面的部分忽略，
令(f[j]+sum[j]^2=y_j)，(sum[j]=x_j)，(2(sum[i]-l)=k_i)，
于是我们有(f[i]-(sum[i]-l)^2=min(y_j-k_ix_j))
由于直线方程(y=kx+b)于是(b=y-kx)，
在(k)单调递增的情况下，我们最小化的目标是截距
于是通过单调队列维护斜率递增的点集((x_i,y_i))。
询问：取出队头节点直到(kle frac{y_{l+1}-y_l}{x_{l+1}-x_l})，
也就是(k imes(x_{l+1}-x_l)le y_{l+1}-y_l)，
然后以队头结点作为答案
插点：弹出队尾直到斜率递增((frac{y_{r-1}-y_r}{x_{r-1}-x_r}lefrac{y_r-qy}{x_r-qx}))，
也就是((y_{r-1}-y_r) imes(x_r-qx)le (y_r-qy) imes(x_{r-1}-x_r))
代码
#include<bits/stdc++.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<bitset>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<set>
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define RG register
#define il inline
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
typedef vector<int>VI;
typedef long long ll;
typedef double dd;
const dd eps=1e-10;
const int mod=1e8;
const int N=50010;
il ll read(){
RG ll data=0,w=1;RG char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')data=data*10+ch-48,ch=getchar();
return data*w;
}
il void file(){
freopen(".in","r",stdin);
freopen(".out","w",stdout);
}
ll n,l,c[N],s[N],sum[N],f[N];
struct node{ll x,y;};node Q[N];ll L=1,R;
il void insert(node q){
while(L<R&&(Q[R-1].y-Q[R].y)*(Q[R].x-q.x)>(Q[R].y-q.y)*(Q[R-1].x-Q[R].x))R--;
Q[++R]=q;
}
il ll query(ll k){
while(L<R&&k*(Q[L+1].x-Q[L].x)>Q[L+1].y-Q[L].y)L++;
return Q[L].y-k*Q[L].x;
}
int main()
{
n=read();l=read()+1;
for(RG int i=1;i<=n;i++)
c[i]=read(),s[i]=s[i-1]+c[i],sum[i]=s[i]+i;
insert((node){0,0});
for(RG int i=1;i<=n;i++){
f[i]=query(2*(sum[i]-l))+(sum[i]-l)*(sum[i]-l);
insert((node){sum[i],f[i]+sum[i]*sum[i]});
}
printf("%lld
",f[n]);
return 0;
}