【HNOI2014】江南乐

题面

题解

知识引入 - (SG)函数

任何一个公平组合游戏都可以通过把每个局面看成一个顶点，对每个局面和它的子局面连一条有向边来抽象成这个“有向图游戏”。下面我们就在有向无环图的顶点上定义Sprague-Grundy函数。

定义(mex)运算，表示最小的不属于这个集合的非负整数

如：(mex({0,1,2,4})=3,mex({1,3,5})=0,mex({})=0)。

对于一个给定的有向无环图，定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数(g)如下：

[g(x)=mex({g(y)mid y in mathrm{suc}_x}) ]

由(g(x))的性质可以得出：(g(x) = 0 Leftrightarrow x in)必败态

如果一个游戏可以分成多个子游戏，那么整个游戏的(SG)值就是每个子游戏的(SG)值的异或和。

本题题解

部分分可以暴力求(g(x))。

枚举分成的堆数。如果将(x)分成了(i)堆，那么这(i)堆中有(x \% i)堆(leftlceilfrac{x}{i} ight ceil)，有(i - x \% i)堆(leftlfloorfrac{x}{i} ight floor)。

对于每一个(i)，算出它的(SG)值，为所有分出来的(SG)值的异或和的(mex)

然后(SG)函数可以记忆化。

接下来继续推性质，因为(x oplus x = 0)，所以只需要根据奇偶性讨论一下就可以了，这时候大约有(70)分。

然后(leftlfloorfrac{x}{i} ight floor)可以数论分块，于是数论分块即可。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cctype>
#include<algorithm>
#define RG register

inline int read()
{
	int data = 0, w = 1; char ch = getchar();
	while(ch != '-' && (!isdigit(ch))) ch = getchar();
	if(ch == '-') w = -1, ch = getchar();
	while(isdigit(ch)) data = data * 10 + (ch ^ 48), ch = getchar();
	return data * w;
}

const int maxn(100010);
int sg[maxn], vis[maxn], T, F;

int SG(int x)
{
	if(x < F) return 0;
	if(~sg[x]) return sg[x];
	for(RG int l = 2, r; l <= x; l = r + 1)
	{
		r = (x / (x / l));
		for(RG int j = l; j <= std::min(l + 1, r); j++)
		{
			int a = x % j, b = x / j, c = j - x % j, s = 0;
			if(a & 1) s ^= SG(b + 1);
			if(c & 1) s ^= SG(b);
			vis[s] = x;
		}
	}

	for(RG int i = 0; ; i++) if(vis[i] != x) return sg[x] = i;
}

int main()
{
	memset(sg, -1, sizeof sg);
	T = read(), F = read();
	while(T--)
	{
		int n = read(), ans = 0;
		for(RG int i = 1; i <= n; i++) ans ^= SG(read());
		printf("%d ", (bool)ans);
	}
	return 0;
}