跟我一起学算法——分治法

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目录

• 1.定义
• 2.适用条件分析
• 3.步骤
• 应用1：归并排序
  • 步骤
  • 算法
  • 算法分析
• 应用2：快速排序
  • 基本思想
  • 算法
  • 算法分析
• 参考

分治法（Divide and Conquer）

1.定义

对于具备以下特点的问题：

• 原问题可以分解为若干个与原问题性质相类似的子问题
• 问题的规模缩小到一定程度后可方便求出解
• 子问题的解可以合并得到原问题的解
• 分解出的各个子问题应相互独立
  当这类问题较复杂或规模较大时，将它分解为若干子问题，通过合并子问题的解得到原问题的解。

2.适用条件分析

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解
4. 问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题

上述的第一条特征绝大多数问题都可以满足，第二条是分治法应用的前提，反映了递归思想的应用，
第三条特征是关键，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法
或动态规划算法；第四条特征涉及到分治法的效率，如果各个子问题不是独立的，则分治法要重复
地解公共子问题，动态规划算法解决效率更高。动态规划法=分治算法思想+解决子问题冗余情况

3.步骤

• 分解
• 求解子问题
• 合并子问题的解

应用1：归并排序

步骤

• 把具有n个元素的数组分解为二个n/2大小的子数组
• 递归地分解子数组，直到子数组只包含一个元素为止
• 合并已排好序的子数组使之成为一个新的排好序的子数组，重复合并直到得到原问题的解

算法

算法分析

应用2：快速排序

基本思想

在当前的无序区A[p..r]中任取一个元素x作为比较的基准，并用该基准将当前无序区分为左右二个
较小的无序区A[p..q-1]和A[q+1..r]，使得左边的无序区A[p..q-1]中的元素均小于基准元素x，
右边的无序区A[q+1..r]中的元素均大于x。

算法

quicksort(A,p,r）
	if p<r
    q=patition(A,p,r)
	  quicksort(A,p,q-1)
    quicksort(A,q+1,r)

partition(A,p,r)
	x=A[r]
	i=p-1
	for j=p to r-1
  	if A[j]≤x
  		i=i+1
  		exchange(A[i],A[j])
	exchange(A[i+1],A[r])
	return i+1

算法分析

partition算法时间为： θ(n) --> Quicksort的时间：T(n) = T(q)+T(n-q-1)+ θ(n)
最坏情况：二个无序区的大小分别为n-1和0，T(n) = θ(n^2)
最好情况：O(nlgn)

参考

《算法导论》