[原创]如何用栈实现递归与非递归的转换

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如何用栈实现递归与非递归的转换

一.为什么要学习递归与非递归的转换的实现方法?
   1)并不是每一门语言都支持递归的.
   2)有助于理解递归的本质.
   3)有助于理解栈,树等数据结构.

二.递归与非递归转换的原理.
   递归与非递归的转换基于以下的原理:所有的递归程序都可以用树结构表示出来.需要说明的是,
这个"原理"并没有经过严格的数学证明,只是我的一个猜想,不过在至少在我遇到的例子中是适用的.
   学习过树结构的人都知道,有三种方法可以遍历树:前序,中序,后序.理解这三种遍历方式的递归和非
递归的表达方式是能够正确实现转换的关键之处,所以我们先来谈谈这个.需要说明的是,这里以特殊的
二叉树来说明,不过大多数情况下二叉树已经够用,而且理解了二叉树的遍历,其它的树遍历方式就不难
了.
        1)前序遍历
                
                a)递归方式:
       

1. void preorder_recursive(Bitree T)                /* 先序遍历二叉树的递归算法 */
2.                 {
3.                         if (T) {
4.                                 visit(T);                         /* 访问当前结点 */
5.                                 preorder_recursive(T->;lchild);        /* 访问左子树 */
6.                                 preorder_recursive(T->;rchild);        /* 访问右子树 */
7.                         }
8.                 }

复制代码

                                
                b)非递归方式
       

1. void preorder_nonrecursive(Bitree T)                /* 先序遍历二叉树的非递归算法 */
2.                 {
3.                         initstack(S);
4.                         push(S,T);                                 /* 根指针进栈 */
5.                         while(!stackempty(S)) {
6.                                 while(gettop(S,p)&&p) {                /* 向左走到尽头 */
7.                                         visit(p);                /* 每向前走一步都访问当前结点 */
8.                                         push(S,p->;lchild);
9.                                 }
10.                                 pop(S,p);
11.                                 if(!stackempty(S)) {                /* 向右走一步 */
12.                                         pop(S,p);
13.                                         push(S,p->;rchild); 
14.                                 }
15.                         }
16.                 }

复制代码

                
        2)中序遍历

                a)递归方式

       

1. void inorder_recursive(Bitree T)                /* 中序遍历二叉树的递归算法 */
2.                 {
3.                         if (T) {
4.                                 inorder_recursive(T->;lchild);        /* 访问左子树 */
5.                                 visit(T);                         /* 访问当前结点 */
6.                                 inorder_recursive(T->;rchild);        /* 访问右子树 */
7.                         }
8.                 }

复制代码

                
                b)非递归方式
       

1. void  inorder_nonrecursive(Bitree T)
2.                 {
3.                         initstack(S);                                /* 初始化栈 */
4.                         push(S, T);                                /* 根指针入栈 */
6.                         while (!stackempty(S)) {                        
7.                                 while (gettop(S, p) && p)         /* 向左走到尽头 */
8.                                         push(S, p->;lchild);
9.                                 pop(S, p);                        /* 空指针退栈 */
10.                                 if (!stackempty(S)) {
11.                                         pop(S, p);
12.                                         visit(p);                /* 访问当前结点 */
13.                                         push(S, p->;rchild);        /* 向右走一步 */
14.                                 }
15.                         }
16.                 }

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        3)后序遍历

                a)递归方式
       

1. void postorder_recursive(Bitree T)                /* 中序遍历二叉树的递归算法 */
2.                 {
3.                    if (T) {
4.                            postorder_recursive(T->;lchild);        /* 访问左子树 */
5.                            postorder_recursive(T->;rchild);        /* 访问右子树 */
6.                            visit(T);                                 /* 访问当前结点 */
7.                    }
8.                 }

复制代码

                
                b)非递归方式
       

1. typedef struct {
2.                         BTNode* ptr;
3.                         enum {0,1,2} mark;
4.                 } PMType;                                         /* 有mark域的结点指针类型 */
6.                 void postorder_nonrecursive(BiTree T)                /* 后续遍历二叉树的非递归算法 */
7.                 {
8.                         PMType a;
9.                         initstack(S);                                 /* S的元素为PMType类型 */
10.                         push (S,{T,0});                         /* 根结点入栈 */
11.                         while(!stackempty(S)) {
12.                                 pop(S,a);
13.                                 switch(a.mark)
14.                                 {
15.                                 case 0:
16.                                         push(S,{a.ptr,1});         /* 修改mark域 */
17.                                         if(a.ptr->;lchild) 
18.                                                 push(S,{a.ptr->;lchild,0}); /* 访问左子树 */
19.                                         break;
20.                                 case 1:
21.                                         push(S,{a.ptr,2});         /* 修改mark域 */
22.                                         if(a.ptr->;rchild) 
23.                                                 push(S,{a.ptr->;rchild,0}); /* 访问右子树 */
24.                                         break;
25.                                 case 2:
26.                                         visit(a.ptr);                 /* 访问结点 */
27.                                 }
28.                         }
29.                 }

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       4)如何实现递归与非递归的转换
          通常,一个函数在调用另一个函数之前,要作如下的事情:a)将实在参数,返回地址等信息传递
       给被调用函数保存; b)为被调用函数的局部变量分配存储区;c)将控制转移到被调函数的入口.
          从被调用函数返回调用函数之前,也要做三件事情:a)保存被调函数的计算结果;b)释放被调
       函数的数据区;c)依照被调函数保存的返回地址将控制转移到调用函数.
          所有的这些,不论是变量还是地址,本质上来说都是"数据",都是保存在系统所分配的栈中的.
          ok,到这里已经解决了第一个问题:递归调用时数据都是保存在栈中的,有多少个数据需要保存
       就要设置多少个栈,而且最重要的一点是:控制所有这些栈的栈顶指针都是相同的,否则无法实现
       同步.
          下面来解决第二个问题:在非递归中,程序如何知道到底要转移到哪个部分继续执行?回到上
       面说的树的三种遍历方式,抽象出来只有三种操作:访问当前结点,访问左子树,访问右子树.这三
       种操作的顺序不同,遍历方式也不同.如果我们再抽象一点,对这三种操作再进行一个概括,可以
       得到:a)访问当前结点:对目前的数据进行一些处理;b)访问左子树:变换当前的数据以进行下一次
       处理;c)访问右子树:再次变换当前的数据以进行下一次处理(与访问左子树所不同的方式).
          下面以先序遍历来说明:

1. void preorder_recursive(Bitree T)                /* 先序遍历二叉树的递归算法 */
2.         {
3.                 if (T) {
4.                         visit(T);                         /* 访问当前结点 */
5.                         preorder_recursive(T->;lchild);        /* 访问左子树 */
6.                         preorder_recursive(T->;rchild);        /* 访问右子树 */
7.                 }
8.         }

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   visit(T)这个操作就是对当前数据进行的处理, preorder_recursive(T->;lchild)就是把当前
        数据变换为它的左子树,访问右子树的操作可以同样理解了.
           现在回到我们提出的第二个问题:如何确定转移到哪里继续执行?关键在于一下三个地方:a)
        确定对当前数据的访问顺序,简单一点说就是确定这个递归程序可以转换为哪种方式遍历的树结
        构;b)确定这个递归函数转换为递归调用树时的分支是如何划分的,即确定什么是这个递归调用
        树的"左子树"和"右子树"c)确定这个递归调用树何时返回,即确定什么结点是这个递归调用树的
        "叶子结点".
        
        三.三个例子
           好了上面的理论知识已经足够了,下面让我们看看几个例子,结合例子加深我们对问题的认识
        .即使上面的理论你没有完全明白,不要气馁,对事物的认识总是曲折的,多看多想你一定可以明
        白(事实上我也是花了两个星期的时间才弄得比较明白得).
           
        1)例子一:

1. f(n) = 　n + １;        (n <２)　
2.         　　　　 f[n/2] + f[n/4](n >;= 2);
3.         
4.         这个例子相对简单一些,递归程序如下:
5.         int        f_recursive(int n)
6.         {
7.                 int u1, u2, f;
9.                 if (n < 2) 
10.                         f = n + 1;
11.                 else {
12.                         u1 = f_recursive((int)(n/2));
13.                         u2 = f_recursive((int)(n/4));
14.                         f = u1 * u2;                                                                                         
15.                 }
17.                 return f;
18.         }

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           下面按照我们上面说的,确定好递归调用树的结构,这一步是最重要的.首先,什么是叶子结点
        ,我们看到当n < 2时f = n + 1,这就是返回的语句,有人问为什么不是f = u1 * u2,这也是一个
        返回的语句呀?答案是:这条语句是在u1 = exmp1((int)(n/2))和u2 = exmp1((int)(n/4))之后
        执行的,是这两条语句的父结点. 其次,什么是当前结点,由上面的分析,f = u1 * u2即是父结点
        .然后,顺理成章的u1 = exmp1((int)(n/2))和u2 = exmp1((int)(n/4))就分别是左子树和右子
        树了.最后,我们可以看到,这个递归函数可以表示成后序遍历的二叉调用树.好了,树的情况分析
        到这里,下面来分析一下栈的情况,看看我们要把什么数据保存在栈中,在上面给出的后序遍历的如果这个过程你没
        非递归程序中我们已经看到了要加入一个标志域,因此在栈中要保存这个标志域;另外,u1,u2和
        每次调用递归函数时的n/2和n/4参数都要保存,这样就要分别有三个栈分别保存:标志域,返回量
        和参数,不过我们可以做一个优化,因为在向上一层返回的时候,参数已经没有用了,而返回量也
        只有在向上返回时才用到,因此可以把这两个栈合为一个栈.如果对于上面的分析你没有明白,建
        议你根据这个递归函数写出它的递归栈的变化情况以加深理解,再次重申一点:前期对树结构和
        栈的分析是最重要的,如果你的程序出错,那么请返回到这一步来再次分析,最好把递归调用树和
        栈的变化情况都画出来,并且结合一些简单的参数来人工分析你的算法到底出错在哪里.
            ok,下面给出我花了两天功夫想出来的非递归程序(再次提醒你不要气馁,大家都是这么过来
        的).
        

1. int        f_nonrecursive(int n)
2.         {
3.                 int stack[20], flag[20], cp;
4.                                                  
5.                 /* 初始化栈和栈顶指针 */
6.                 cp = 0;
7.                 stack[0] = n;
8.                 flag[0] = 0;
10.                 while (cp >;= 0) {
11.                         switch(flag[cp]) {
12.                         case 0:                         /* 访问的是根结点 */
13.                                 if (stack[cp] >;= 2) {        /* 左子树入栈 */
14.                                         flag[cp] = 1;         /* 修改标志域 */
15.                                         cp++;
16.                                         stack[cp] = (int)(stack[cp - 1] / 2);
17.                                         flag[cp] = 0;
18.                                 } else {                 /* 否则为叶子结点 */
19.                                         stack[cp] += 1;
20.                                         flag[cp] = 2;
21.                                 }
22.                                 break;
23.                         case 1:                         /* 访问的是左子树 */
24.                                 if (stack[cp] >;= 2) {        /* 右子树入栈 */
25.                                         flag[cp] = 2;         /* 修改标志域 */
26.                                         cp += 2;
27.                                         stack[cp] = (int)(stack[cp - 2] / 4);
28.                                         flag[cp] = 1;
29.                                 } else {                 /* 否则为叶子结点 */
30.                                         stack[cp] += 1;
31.                                         flag[cp] = 2;
32.                                 }
33.                                 break;
34.                         case 2:                                 /* */
35.                                 if (flag[cp - 1] == 2) { /* 当前是右子树吗? */
36.                                         /* 
37.                                          * 如果是右子树, 那么对某一棵子树的后序遍历已经
38.                                          * 结束,接下来就是对这棵子树的根结点的访问
39.                                          */
40.                                         stack[cp - 2] = stack[cp] * stack[cp - 1];
41.                                         flag[cp - 2] = 2;
42.                                         cp = cp - 2;
43.                                 } else 
44.                                         /* 否则退回到后序遍历的上一个结点 */
45.                                         cp--;
46.                                 break;
47.                         }
48.                 }
50.                 return stack[0];
51.         }

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           算法分析:a)flag只有三个可能值:0表示第一次访问该结点,1表示访问的是左子树,2表示
        已经结束了对某一棵子树的访问,可能当前结点是这棵子树的右子树,也可能是叶子结点.b)每
        遍历到某个结点的时候,如果这个结点满足叶子结点的条件,那么把它的flag域设为2;否则根据
        访问的是根结点,左子树或是右子树来设置flag域,以便决定下一次访问该节点时的程序转向.
        

        2)例子二
        
        快速排序算法
        递归算法如下:
        

1. void        swap(int array[], int low, int high)
2.         {
3.                 int temp;
5.                 temp = array[low];
6.                 array[low] = array[high];
7.                 array[high] = temp;
8.         }
10.         int        partition(int array[], int low, int high)
11.         {
12.                 int        p;
14.                 p = array[low];
16.                 while (low < high) {
17.                         while (low < high && array[high] >;= p) 
18.                                 high--;
19.                         swap(array,low,high);
20.                         while (low < high && array[low]  <= p) 
21.                                 low++;
22.                         swap(array,low,high);
23.                 }
25.                 return low;
26.         }
28.         void        qsort_recursive(int array[], int low, int high)
29.         {
30.                 int p;
32.                 if(low < high) {
33.                         p = partition(array, low, high);
34.                         qsort_recursive(array, low, p - 1);
35.                         qsort_recursive(array, p + 1, high);
36.                 }
37.         }

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           需要说明一下快速排序的算法: partition函数根据数组中的某一个数把数组划分为两个部分,
        左边的部分均不大于这个数,右边的数均不小于这个数,然后再对左右两边的数组再进行划分.这
        里我们专注于递归与非递归的转换,partition函数在非递归函数中同样的可以调用(其实
        partition函数就是对当前结点的访问).
           再次进行递归调用树和栈的分析:
           递归调用树:a)对当前结点的访问是调用partition函数;b)左子树:
        qsort_recursive(array, low, p - 1);c)右子树:qsort_recursive(array, p + 1, high);
        d)叶子结点:当low < high时;e)可以看出这是一个先序调用的二叉树
           栈:要保存的数据是两个表示范围的坐标.
           

1. void        qsort_nonrecursive(int array[], int low, int high)
2.         {
3.                 int m[50], n[50], cp, p; 
5.                 /* 初始化栈和栈顶指针 */
6.                 cp = 0;
7.                 m[0] = low;
8.                 n[0] = high;
10.                 while (m[cp] < n[cp]) {
11.                         while (m[cp] < n[cp]) {        /* 向左走到尽头 */
12.                                 p = partition(array, m[cp], n[cp]); /* 对当前结点的访问 */
13.                                 cp++;
14.                                 m[cp] = m[cp - 1];
15.                                 n[cp] = p - 1;
16.                         }
17.                         /* 向右走一步 */
18.                         m[cp + 1] = n[cp] + 2;
19.                         n[cp + 1] = n[cp - 1];
20.                         cp++;
21.                 }
22.         }

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        3)例子三
        阿克曼函数:

1. akm(m, n) = n + 1;                        (m = 0时)
2.                     akm(m - 1, 1);                (n = 0时)
3.                     akm(m - 1, akm(m, n - 1));        (m != 0且n != 0时)

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        递归算法如下:
        

1. int        akm_recursive(int m, int n)
2.         {
3.                 int temp;
5.                 if (m == 0) 
6.                         return (n + 1);
7.                 else if (n == 0) 
8.                         return akm_recursive(m - 1, 1);
9.                 else {
10.                         temp = akm_recursive(m, n - 1);
11.                         return akm_recursive(m - 1, temp);
12.                 }
13.         }

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这个例子相对难一些,不过只要正确的分析递归调用树和栈的变化情况就不难解决,先卖个关子,晚上再来公布答案,感兴趣的可以先想想.