积化和差与和差化积

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一、求证：sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]

证明：因为

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ

即

sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]

同理得到

cosαsinβ=12[sin(α+β)−sin(α−β)]

cosαcosβ=12[cos(α+β)+cos(α−β)]

sinαsinβ=−12[cos(α+β)−cos(α−β)]

由于公式的左边为积的形式，右边为和或差的形式，故把上述四个公式称为 积化和差 公式.

二、求证：sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ−φ2

证明：由上一题的证明有

sin(α+β)+sin(α−β)=2sinαcosβ

设 α+β=θ,α−β=φ .那么

α=θ+φ2,β=θ−φ2

把 α,β 的值代入上式，即得

sinθ+sinφ=2sinθ+φ2cosθ−φ2

同理得

sinθ−sinφ=2cosθ+φ2sinθ−φ2

cosθ+cosφ=2cosθ+φ2cosθ−φ2

cosθ−cosφ=−2sinθ+φ2sinθ−φ2

我们把上述四个公式称为和差化积公式.

例题

1

、已知 sin(α+β)=12,sin(α−β)=13 ，求 sinαcosβ

.

解析：sinαcosβ=12[sin(α+β)+sin(α−β)]=512

2

、设 A,B,C 是 △ABC

的三个内角，求证：

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

 

证明：

====sin2A+sin2B+sin2C2sin(A+B)cos(A−B)−2sin(A+B)cos(A+B)2sin(A+B)[cos(A−B)−cos(A+B)]2sin(A+B)2sinAsinB4sinAsinBsinC

 

练习

已知 A+B+C=π

，求证：

(1)sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2

(2)cosA+cosB+cosC=1+4sinA2sinB2sinC2

https://www.zhihu.com/question/295940509/answer/2067843136

作者：农夫三拳
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个人是这么记得，先说口诀再解释

积化和差：

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

和差化积：

正弦加减变异名，相加则为正在前。

余弦加减变同名，相减变正负号连。

 

先说积化和差

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

两者相加，得到

• sinαcosβ=1/2[sin(α+β)+sin(α-β)] ①

两者相减，得到

• cosαsinβ=1/2[sin(α+β)-sin(α-β)] ②

观察得到的两式，一个式子中都有cos和sin两种三角，这样定义为异名，因此得到口诀

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

那余弦在前减号连呗

注意，等号后面默认的是先(α+β)，再(α-β)。

 

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

两式相加，得到

• cosαcosβ=1/2[cos(α+β)+cos(α-β)] ③

两式相减，得到

• sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)] ④

一点说明:本式应该写成cos(α-β)-cos(α+β)好一些，但是因为要统一写成先(α+β)，再(α-β)的形式，所以前面要提出一个负号。

观察得到的两式，都是一个式子中只有一种三角，这样定义为同名，得到口诀

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

其中，双减表示的意思为一个负号，一个减号。

类比可以推出，余弦变余加号连。

所以积化和差的口诀总结为

异名相乘变正弦，正弦在前加号连。

同名相乘变余弦，正弦变余双减连。

 

下面说和差化积，可由积化和差公式换元导出，

由①变一下字母得到

sinθcosδ=1/2[sin(θ+δ)+sin(θ-δ)]

令α=(θ+δ) ， β=(θ-δ)

则 θ=1/2(α+β)， δ=1/2(α-β)

所以上式变为

• sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]×cos[(α-β)/2]

由②变一下字母得到

cosθsinδ=1/2[sin(θ+δ)-sin(θ-δ)]

令α=(θ+δ) ， β=(θ-δ)

则 θ=1/2(α+β)， δ=1/2(α-β)

• sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2] ×sin[(α-β)/2]

逆用积化和差的口诀，改为

正弦加减变异名，相加则为正在前。

那相减则为余在前呗

注意，此时等号后面仍然是先(α+β)，后(α-β)，只不过是各自都要除以2

 

由③④变换后可得

• cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]×cos[(α-β)/2]

和

• cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]×sin[(α-β)/2]

逆用积化和差口诀，得到

余弦加减变同名，相减变正负号连。

这里应该注意一下断句：相减变正，负号连。

如果是余弦减余弦，那么变为正弦，且前面有一个负号。

那么相加就是变余正号连了。