【bzoj2705】[SDOI2012]Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

 

 

 

 

【题解】

 

设gcd(m,n)=k的m的个数为s(k)，k为n的约数

 

则ans=sigma(k*s(k))

 

由gcd(m，n)=k，gcd(m/k,n/k)=1,所以s(k)=phi(n/k)

 

时间复杂度O(nlogn)

 

/*************
  bzoj 2705
  by chty
  2016.11.4
*************/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,ans;
inline ll read()
{
    ll x=0,f=1;  char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-1;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-'0';  ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll phi(ll x)
{
    ll sum=x;
    for(ll i=2;i<=m;i++)
    {
        if(x%i==0)  sum=sum/i*(i-1);
        while(x%i==0)  x/=i;
    }
    if(x>1)  sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}
int main()
{
    freopen("cin.in","r",stdin);
    freopen("cout.out","w",stdout);
    n=read();
    m=(ll)sqrt(n*1.0);
    for(ll i=1;i<=m;i++)
        if(n%i==0)  
        {
            ans+=i*phi(n/i);
            if(i*i<n)  ans+=(n/i)*phi(i);
        }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}