图的第k短路

【问题描述】

给你一个有向图，求从1到n的第k短路。

【解法】

SPFA+A*搜索。

1 A*算法

A*算法在人工智能中是一种典型的启发式搜索算法，启发中的估价是用估价函数表示的：

h(n)=f(n)+g(n)

其中f(n)是节点n的估价函数，g(n)表示实际状态空间中从初始节点到n节点的实际代价，h(n)是从n到目标节点最佳路径的估计代价。另外定义h'(n)为n到目标节点最佳路径的实际值。如果h'(n)≥h(n)则如果存在从初始状态走到目标状态的最小代价的解，那么用该估价函数搜索的算法就叫A*算法。

2 第K最短路的算法

我们设源点为s，终点为t，我们设状态f(i)的g(i)为从s走到节点i的实际距离，h(i)为从节点i到t的最短距离，从而满足A*算法的要求，当第K次走到f(n-1)时表示此时的g(n-1)为第K最短路长度。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 20100
#define INF 1000100000
#define pii pair<int,int> 
using namespace std;
struct node{int y,next,v;}e1[MAXN],e2[MAXN];
struct node2
{
    int f,g,id;    
    friend bool operator < (node2 a,node2 b)
    {
        return a.f>b.f;
    }
};
int n,m,k,len1,len2,Link1[MAXN],Link2[MAXN],dis[MAXN],vis[MAXN],tim[MAXN],ans[MAXN];
priority_queue<node2>Q;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;  char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))  {if(ch=='-')  f=-1;  ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))  {x=x*10+ch-'0';  ch=getchar();}
    return x*f;
}
void insert(int xx,int yy,int vv)
{
    e1[++len1].next=Link1[xx];
    Link1[xx]=len1;
    e1[len1].y=yy;
    e1[len1].v=vv;              
    e2[++len2].next=Link2[yy];
    Link2[yy]=len2;
    e2[len2].y=xx;
    e2[len2].v=vv;              
}
void SPFA()
{
    priority_queue<int,vector< int >,greater< int > >q;
    memset(dis,50,sizeof(dis));
    dis[1]=0,vis[1]=1,q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        int tn=q.top();
        vis[tn]=0;
        q.pop();
        for(int i=Link2[tn];i;i=e2[i].next)
        {
            int tmp=e2[i].y;
            if(dis[tmp]>dis[tn]+e2[i].v)
            {
                dis[tmp]=dis[tn]+e2[i].v;
                if(!vis[tmp])
                {
                    vis[tmp]=1;
                    q.push(tmp);
                }
            }
        }
    }
}
void Astar()
{
    if(dis[n]==INF)  return;
    node2 temp;  temp.g=0,temp.f=dis[n],temp.id=n;
    Q.push(temp);
    while(!Q.empty())
    {
        temp=Q.top(); Q.pop();
        if(temp.id==1)  {ans[++ans[0]]=temp.f;  if(ans[0]>k)  return;}  
        for(int i=Link1[temp.id];i;i=e1[i].next)
        {
            node2 opt;
            opt.g=temp.g+e1[i].v;
            opt.f=opt.g+dis[e1[i].y];
            opt.id=e1[i].y;
            Q.push(opt);
        }
    }
}
int main()
{
    n=read();  m=read();  k=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=read(),y=read(),v=read();
        insert(x,y,v);
    }
    SPFA();
    Astar();
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        if(!ans[i])  printf("-1
");
        else printf("%d
",ans[i]);
    }
    return 0;
}