离散数学部分回顾——数理逻辑
前言
正在学习数据库的知识，有很多牵扯到离散数学的地方，而离散数学是两年前修的课程，一些地方记得不牢固，特地花点时间回顾复习一下数理逻辑的部分。
回顾主要参考这个博客：https://blog.csdn.net/songzitea/article/details/45070231这个博客的内容很系统，推荐学习。
下面主要针对自己的情况进行记录/回顾大纲。
数理逻辑
命题逻辑基本概念
命题概念
- 陈述句
- 真值唯一
命题类型
-
复合命题
-
简单命题
联结词
按优先顺序列出，（）最前
- 否定联结词┐
- 合取联结词∧
- 析取联结词∨
- 蕴涵联结词→
- 等价联结词
复合命题符号化
命题公式
合式公式/命题公式/命题形式，简称公式
公式的层次
公式的赋值
-
成真赋值
-
成假赋值
真值表
公式类型
- 重言式（或永真式）
- 矛盾式（或永假式）
- 可满足式
命题逻辑等值演算
等值式
定义
判断方法
- 真值表
- 等值演算
- 范式
基本等值式
- 双重否定律
- 幂等律
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 德·摩根律
- 吸收律
- 零律
- 同一律
- 排中律
- 矛盾律
- 蕴含等值式 A→B等价于┐A∨B
- 等价等值式
- 假言易位
- 等价否定等值式
- 归谬论。
范式
-
析取范式
-
合取范式
简单析取式和简单合取式
文字
*定理2.1*
（1）一个简单析取式是重言式当且仅当它同时含某个命题变项及它的否定式。
（2）一个简单合取式是矛盾式当且仅当它同时含有某个命题变项及它的否定式。
极小项、极大项
主析取范式、主合取范式
联结词完备集（或完全集)
命题逻辑的推理理论
推理的形式结构
重言蕴涵式
-
A 等价于 (A∨B) 附加律
-
(A∧B)等价于A 化简律
-
(A→B)∧A等价于B 假言推理
-
(A→B)∧┐B等价于┐A 拒取式
-
(A∨B)∧┐B等价于A 析取三段论
-
(A→B)∧(B→C)等价于(A→C) 假言三段论
-
(AB)∧(BC)等价于(AC) 等价三段论
-
(A→B)∧(C→D)∧(A∨C)等价于(B∨D) 构造性二难
(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A)等价于B 构造性二难 (特殊形式) -
(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D)等价于(┐A∨┐C) 破坏性二难
自然推理系统P
推理规则
- 前提引入规则
- 结论引入规则
- 置换规则
- 假言推理规则
- 附加规则
- 化简规则
- 拒取式规则
- 假言三段式规则
- 构造性二难规则
- 合取引入规则
一阶逻辑基本概念
概念
个体词、个体常项、个体变项、个体域(或称论域)、全总个体域
谓词、谓词常项、谓词变项、0元谓词
量词、全称量词、存在量词
一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑公式及解释
一阶语言
项、原子公式、合式公式、谓词公式
自由与约束
指导变元、辖域、自由出现、约束出现
闭式
一阶公式的解释
一阶公式的分类
-
永真式(或称逻辑有效式)
-
矛盾式(或永假式)
-
可满足式
一阶逻辑等值演算与推理
一阶逻辑等值式与置换规则
等值式与基本的等值式
- 在有限个体域中消去量词等值式
- 量词否定等值式
- 量词辖域收缩与扩张等值式
- 量词分配等值式
基本规则
- 置换规则
- 换名规则
- 代替规则
一阶逻辑的前束范式
一阶逻辑推理理论
推理的形式结构
推理正确
构造证明
新的推理规则
- 全称量词消去规则，记为UI
- 全称量词引入规则，记为UG
- 存在量词消去规则，记为EI
- 存在量词引入规则，记为EG