消耗战——dp+虚树

题目

【题目描述】

在一场战争中，战场由 $n$ 个岛屿和 $n-1$ 个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为 $1$ 的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他 $k$ 个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。

侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到 $1$ 号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用 $m$ 次，所以我们只需要把每次任务完成即可。

【输入格式】

第一行一个整数 $n$ ，代表岛屿数量。

接下来 $n-1$ 行，每行三个整数 $u,v,w$ ，代表 $u$ 号岛屿和 $v$ 号岛屿由一条代价为 $c$ 的桥梁直接相连，保证 $1 le u,v le n$ 且 $1 le c le 100000 $ 。

第 $n+1$ 行，一个整数 $m$ ，代表敌方机器能使用的次数。

接下来 $m$ 行，每行一个整数 $k_i$ ，代表第 $i$ 次后，有 $k_i$ 个岛屿资源丰富，接下来 $k$ 个整数$h_1,h_2,…h_k$ ，表示资源丰富岛屿的编号。

【输出格式】
输出有 $m$ 行，分别代表每次任务的最小代价。
【样例输入】

10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6

【样例输出】

12
32
22

【数据范围与提示】
对于100%的数据， $2 le n le 250000,m ge 1, sum{k_i} le 500000,1 le k_i le n-1 $

题解

考虑树形 dp，记 $ g[i] $ 表示将 $ i $ 及其子树断开的最小代价，然后发现效率过不去

因为 $ sum k leq 5 imes 10^5 $，考虑构造虚树，然后直接 dp 即可

时间效率：$ O(2log n imes sum k) $，因为一棵虚树最多只有 $ 2k $ 个点，查询 LCA 的效率为 $ O(log n) $

构造虚树：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9175152.html

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pb push_back
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
using namespace std;
int R(){
    int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=0;x=ch^48;
    _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;}
const int N=2.5e5+5;
int n,m,f[N][25],head[N],cnt,dfn[N],dep[N],a[N],sta[N],top,tot,lg;
LL g[N];
vector<int>G[N];
struct edge{int to,nex;LL w;}e[N<<1];
bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];}
void add(int s,int t,int w){e[++cnt]=(edge){t,head[s],w},head[s]=cnt;}
void dfs(int u,int far){
    dfn[u]=++tot,f[u][0]=far,dep[u]=dep[far]+1;
    for(int i=1;i<=lg;i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];
    for(int k=head[u],v;k;k=e[k].nex)
        if((v=e[k].to)!=far)
            g[v]=min(g[u],e[k].w),dfs(v,u);
}
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    int i=lg;
    while(dep[x]<dep[y]){
        while(i&&dep[x]>dep[f[y][i]])i--;
        y=f[y][i];}
    i=lg;
    while(x!=y){
        while(i>0&&f[x][i]==f[y][i])i--;
        x=f[x][i],y=f[y][i];}
    return x;
}
void insert(int x){
    if(top==1){sta[++top]=x;return;}
    int far=lca(x,sta[top]);
    if(far==sta[top])return;
    while(top>1&&dfn[sta[top-1]]>=dfn[far])
        G[sta[top-1]].pb(sta[top]),top--;
    if(far!=sta[top])G[far].pb(sta[top]),sta[top]=far;
    sta[++top]=x;
    return;
}
LL work(int x){
    if(!G[x].size())return g[x];
    LL sum=0;
    for(int i=G[x].size()-1;~i;i--)
        sum+=work(G[x][i]);
    G[x].clear();
    return min(sum,(LL)g[x]);
}
int main(){
    memset(g,0x3f,sizeof g);
    n=R(),lg=log2(n)+1;
    for(int i=1,u,v,w;i<n;i++)
        u=R(),v=R(),w=R(),add(u,v,w),add(v,u,w);
    dfs(1,1);
    for(int q=R();q--;){
        m=R();
        for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=R();
        sort(a+1,a+1+m,cmp);
        sta[top=1]=1;
        for(int i=1;i<=m;i++)insert(a[i]);
        while(top)G[sta[top-1]].pb(sta[top]),top--;
        printf("%lld
",work(1));
    }
    return 0;
}