• 贪心算法(会场安排问题、区间选点)


    学习算法课程之后的第一次记录,渐渐的,程序设计考虑的因素增多,程序=数据结构+算法,这个等式让我深有体会。从开始简单的C++编程,再到选择合适数据结构,现在需要更进一步,从算法层次上考虑程序执行的效率。我对算法的理解是用更少的开销获得更优的执行效果。

    分治法、动态规划在此之前没有记录下来,学到贪心算法的时候,觉得需要总结一下学过的东西,也能更好的理解。动态规划的设计,要满足最优子结构性质和重叠子问题,采用自底向上的策略,计算出最优值,找到整体最优解。这个过程有时候挺难的,主要在写出递归式,要自底向上填表。贪心策略有点像动态规划,但在一些方面是不同的,有时候贪心算法的思想更容易想到。它要满足子问题最优而得到整体最优?两个条件:最优子结构性质和贪心选择性质。满足贪心选择性质一定满足最优子结构性质,而满足最优子结构性质不一定满足贪心选择性质,比如背包问题可以用贪心算法解决,而0-1背包问题只能用动态规划。

    典型的贪心问题活动安排,有n个活动,给出开始时间和结束时间,要尽可能安排多的活动(时间互相不冲突)。解决这个问题正确的贪心思想是以每个活动结束时间为比较变量,按结束时间升序排好活动次序,接着就进行比较选择。而会场安排问题与活动又有些不同之处,下面是我的解题过程。

    7-2 会场安排问题 (20 分)

    假设要在足够多的会场里安排一批活动,并希望使用尽可能少的会场。设计一个有效的 贪心算法进行安排。(这个问题实际上是著名的图着色问题。若将每一个活动作为图的一个 顶点,不相容活动间用边相连。使相邻顶点着有不同颜色的最小着色数,相应于要找的最小 会场数。)

    输入格式:

    第一行有 1 个正整数k,表示有 k个待安排的活动。 接下来的 k行中,每行有 2个正整数,分别表示 k个待安排的活动开始时间和结束时间。时间 以 0 点开始的分钟计。

    输出格式:

    输出最少会场数。

    输入样例:

    5
    1 23
    12 28
    25 35
    27 80
    36 50 

    输出样例:

    3
    #include<iostream>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    struct node {
        int begin;
        int end;
        int flag;//标记该活动是否被安排,0表示未安排,1表示已安排 
    }t[10001];
    int cmp(const node &a,const node &b)//比较规则:以结束时间升序排列 
    { 
        return a.end<b.end;
     } 
    int main()
    {
        int i,j,n;
        node temp;
        cin>>n;
        for(i=0;i<n;i++) 
        {
            cin>>t[i].begin>>t[i].end;
            t[i].flag=0;
        }
        sort(t,t+n,cmp);
            
        int sum=0;//总共需要的会场数量 
    
        for(i=0;i<n;i++)//方法2 
        {
            if(!t[i].flag)//找到未安排的活动,进行场地安排 
            {
                sum++;
                int p=i;
                for(j=p+1;j<n;j++)//当前活动结束时间与下一个活动开始不相交 ,则安排到同一个会场 
                {
                    if(t[p].end<=t[j].begin&&!t[j].flag)
                    {
                        p=j;t[j].flag=1;
                    }
                }
                t[i].flag=1;
            }
        }
    
        cout<<sum;
        return 0;
    }
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    贪心策略为:把尽可能多的时间互不冲突的活动安排到一个会场,若活动时间交叉,则在安排到另一个会场。

    将所有活动按结束时间升序排列,利用sort函数,自定义cmp方法。循环体中,每次可以找到还没有安排的活动,并以这个活动搜索能同时容纳到一个会场的其他活动(这一步嵌套在内层循环中),经过两层循环,把所有活动全部安排好,这时也已经计算出需要的会场数量sum。

    类似的问题是区间选点

    7-10 选点问题 (15 分)
     数轴上有n个闭区间[ai, bi]。取尽量少的点,使得每个区间内都至少有一个点(不同区间内含的点可以是同一个)。

    输入格式:

    第一行一个数字n,表示有n个闭区间。 下面n行,每行包含2个数字,表示闭区间[ai, bi]

    输出格式:

    一个整数,表示至少需要几个点

    输入样例:

    在这里给出一组输入。例如:

    3
    1 3
    2 4
    5 6
    

    输出样例:

    在这里给出相应的输出。例如:2

    开始想找出几个区间共同段,并且记录每个共同段中包含哪些区间,这样算出最少选点。后来发现觉得这个想法其实可以简化一下,策略为:以右端为挡板,看看前面是否包含其他区间,如果是,则不记数,反之,说明没有共同段,需要计数并且移动挡板位置继续寻找。贪心策略是选择区间右端点,保证能够包含更大交叉段,选的点最少。

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    struct dot{
        int l,r;
        bool v[10001];
    }dots[10001];
    
    int cmp(const dot &a,const dot &b)//比较规则,按区间右端点升序排列 
    {
        return a.r<b.r;
    } 
    
    int main()
    {
        int n,i,j,count=1,select;
        cin>>n;
        for(i=0;i<n;i++)
            cin>>dots[i].l>>dots[i].r;
        sort(dots,dots+n,cmp);//预处理,将区间按规则排好序,方便后续比较 
        select=dots[0].r;
        //贪心策略是选择区间右端点,保证能够包含更大交叉段,选的点最少 
        for(i=1;i<n;i++)//每次将当前选择的一个区间的右端点与下一个(或者同一区间,可忽略)左端比较 
        {
            if(dots[i].l>select)//如果没有交叉,选点+1,并以此区间右端为新一轮比较的点 
            {
                count++;
                select=dots[i].r;
            }
        }
        cout<<count;
        return 0;
    }
    View Code

    学习算法之后,发现解决问题上需要思维上的改变,程序设计之前的算法选择很重要,还要向大佬们学习,典型算法的学习研究真是博大精深呀!

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