【洛谷3157】[CQOI2011] 动态逆序对（CDQ分治）

点此看题面

大致题意： 给你一个从\(1\)到\(n\)的排列，问你每次删去一个元素后剩余的逆序对个数。

关于\(80\)分的树套树

为了练树套树，我找到了这道题目。

但悲剧的是，我的 线段树套\(Treap\) 被卡了！只得了\(80\)分。

其实这个做法思路还是比较简单的，若要删除第\(p_x\)个位置上的元素\(x\)，少掉的逆序对个数应为 \([1,p_x-1]\)区间内还未被删掉的元素中小于\(x\)的元素个数 加上 \([p_x+1,n]\)区间内还未被删掉的元素中大于\(x\)的元素个数。

这样理论复杂度是\(O(Mlog^2N)\)的，应该能过。

但是，树套树常数毕竟太大，依然毫无悬念地\(TLE\)了。

贴一份代码以示哀悼：

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1)) 
#define N 100000
using namespace std;
int n,m,a[N+5],p[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
class Class_SegmentTreap//线段树套Treap模板
{
    private:
        int data[N+5],Root[N<<2];
        class Class_Treap
        {
        	private:
        		#define Rand() ((r*=233333LL)%=2147483647)
        		#define PushUp(x) (node[x].Size=node[node[x].Son[0]].Size+node[node[x].Son[1]].Size+node[x].Cnt)
        		#define Rotate(x,d) (k=node[x].Son[d^1],node[x].Son[d^1]=node[k].Son[d],node[k].Son[d]=x,x=k,PushUp(node[x].Son[d]),PushUp(x))
        		#define Build(val) ((void)(k=Void[tot--],node[k].Val=val,node[k].Cnt=node[k].Size=1,node[k].Son[0]=node[k].Son[1]=0,node[k].Data=Rand()),k)
        		int tot,k,Void[N*50+5];ull r;
        		struct Tree
        		{
        	 	   int Val,Cnt,Size,Data,Son[2];
        		}node[N*50+5];
        		inline void ins(int &x,int val)
        		{
        		    if(!x) return (void)(x=Build(val));
        	  	  	++node[x].Size;
        	    	if(node[x].Val==val) ++node[x].Cnt;
        	    	else if(node[x].Val>val) {ins(node[x].Son[0],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[0]].Data) Rotate(x,1);}
        		   	else {ins(node[x].Son[1],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,0);}
        		    PushUp(x);
        		}
        		inline void del(int &x,int val)
        		{	
        	 		if(!x) return;
        		    if(node[x].Val==val)
        		    {
        		        if(node[x].Cnt>1) return (void)(--node[x].Cnt,PushUp(x));
        		        if(node[x].Son[0]||node[x].Son[1])
        		        {
        		            if(!node[x].Son[1]||node[node[x].Son[0]].Data>node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,1),del(node[x].Son[1],val);
        		            else Rotate(x,0),del(node[x].Son[0],val);
        		        }
        		        else Void[++tot]=x,x=0;
        		    }
        		    else if(node[x].Val>val) del(node[x].Son[0],val);
        		    else del(node[x].Son[1],val);
        		    PushUp(x);
        		}
        	public:
        		Class_Treap() {r=2333;for(register int i=N*50;i;--i) Void[++tot]=i;}
        		inline void Insert(int &rt,int val) {ins(rt,val);}
        		inline void Delete(int &rt,int val) {del(rt,val);}
        		inline int count_min(int rt,int val)
        		{
        		    register int x=rt,rk=0;
        		    while(x) node[x].Val>val?x=node[x].Son[0]:(rk+=node[node[x].Son[0]].Size+node[x].Cnt,x=node[x].Son[1]);
        		    return rk;
        		}
        		inline int count_max(int rt,int val)
        		{
        		    register int x=rt,rk=0;
        		    while(x) node[x].Val>val?(rk+=node[node[x].Son[1]].Size+node[x].Cnt,x=node[x].Son[0]):x=node[x].Son[1];
        		    return rk;
        		}
        	    #undef Build
        }Treap;
        inline void Build(int l,int r,int rt)
        {
            register int i,mid=l+r>>1;
            for(i=l;i<=r;++i) Treap.Insert(Root[rt],data[i]);
            if(l^r) Build(l,mid,rt<<1),Build(mid+1,r,rt<<1|1);
        }
        inline void Del(int l,int r,int rt,int pos)
        {
            register int i,mid=l+r>>1;
            if(l<=pos&&pos<=r) Treap.Delete(Root[rt],data[pos]);
            if(l^r) pos<=mid?Del(l,mid,rt<<1,pos):Del(mid+1,r,rt<<1|1,pos);
        }
        inline int count_min(int l,int r,int rt,int ql,int qr,int val)
        {
            register int i,res=0,mid=l+r>>1;
            if(ql<=l&&r<=qr) return Treap.count_min(Root[rt],val);
            if(ql<=mid) res+=count_min(l,mid,rt<<1,ql,qr,val);
            if(mid<qr) res+=count_min(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,val);
            return res;
        }
        inline int count_max(int l,int r,int rt,int ql,int qr,int val)
        {
            register int i,res=0,mid=l+r>>1;
            if(ql<=l&&r<=qr) return Treap.count_max(Root[rt],val);
            if(ql<=mid) res+=count_max(l,mid,rt<<1,ql,qr,val);
            if(mid<qr) res+=count_max(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,val);
            return res;
        }
    public:
        inline void Init(int *num) {for(register int i=1;i<=n;++i) data[i]=num[i];Build(1,n,1);}
        inline void Delete(int pos) {Del(1,n,1,pos);}
        inline int CountMin(int ql,int qr,int val) {return ql<=qr?count_min(1,n,1,ql,qr,val):0;}
        inline int CountMax(int ql,int qr,int val) {return ql<=qr?count_max(1,n,1,ql,qr,val):0;}
}SegmentTreap;
int main()
{
    register int i,x,ans=0; 
    for(F.read(n),F.read(m),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),p[a[i]]=i;//用p记录值为a[i]的元素的位置
    for(SegmentTreap.Init(a),i=1;i<=n;++i) ans+=SegmentTreap.CountMin(i+1,n,a[i]);//求逆序对
    for(i=1;i<=m;++i) F.read(x),F.write(ans),F.write_char('\n'),ans-=SegmentTreap.CountMax(1,p[x]-1,x)+SegmentTreap.CountMin(p[x]+1,n,x),SegmentTreap.Delete(p[x]);//更新ans，然后删除该元素
    return F.end(),0;
}

正解：\(CDQ\)分治

所以，这题的正解应该是码量小、常数小的 \(CDQ\)分治。

其实，这题就是\(CDQ\)分治最常见的运用：求三维偏序，只不过要将题意进行一些转化。

我们可以用分别用\(Pos_x,Val_x,Time_x\)来表示该元素的位置、值以及被删除的时间（对于那些没被删除的元素，随便安排一个大于\(M\)的时间即可，不会影响答案）。

不难发现，一个元素造成的贡献如下：

• 满足\(Time_x<Time_y,Pos_x<Pos_y,Val_x>Val_y\)的\(y\)的个数。
• 满足\(Time_x<Time_y,Pos_x>Pos_y,Val_x<Val_y\)的\(y\)的个数。

这样一来，只要求两遍三维偏序即可。

最后输出时将贡献值按时间从大到小累加，然后输出即可（具体实现可以看代码）。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define uint unsigned int
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
#define INF 1e9
#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
#define N 100000 
using namespace std;
int n,m;
struct value
{
    int Val,Pos,Time;
    LL tot;
}s[N+5];
class FIO
{
    private:
        #define Fsize 100000
        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
        LL f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
    public:
        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
        inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
        inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
        inline void write_char(char x) {pc(x);}
        inline void write_string(string x) {register LL i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
}F;
inline bool cmp_Pos(value x,value y) {return x.Pos>y.Pos;}
inline bool cmp_Val(value x,value y) {return x.Val>y.Val;}
inline bool cmp_Time(value x,value y) {return x.Time>y.Time;}
class Class_CDQ//CDQ分治求解三维偏序
{
    private:
        class Class_BIT//树状数组
        {
            private:
                #define lowbit(x) ((x)&-(x))
                int data[N+5];
            public:
                inline void Add(int x,int y) {while(x<=n) data[x]+=y,x+=lowbit(x);}
                inline LL Query(int x,LL ans=0) {while(x) ans+=data[x],x-=lowbit(x);return ans;}
        }BIT;
    public:
        inline void Solve(int l,int r,int flag)//flag表示是第一次CDQ分治还是第二次CDQ分治
        {
            if(l>=r) return;
            register int mid=l+r>>1,i,j=l;
            Solve(l,mid,flag),Solve(mid+1,r,flag),sort(s+l,s+mid+1,cmp_Time),sort(s+mid+1,s+r+1,cmp_Time);
            for(i=mid+1;i<=r;++i)
            {
                while(j<=mid&&s[j].Time>s[i].Time) BIT.Add(flag?s[j].Val:s[j].Pos,1),++j;
                s[i].tot+=BIT.Query(flag?s[i].Val:s[i].Pos);
            }
            for(i=l;i<j;++i) BIT.Add(flag?s[i].Val:s[i].Pos,-1); 
        }
        inline void PrintAns()//输出答案
        {
            register int i;
            for(sort(s+1,s+n+1,cmp_Time),i=2;i<=n;++i) s[i].tot+=s[i-1].tot;//将贡献按时间从大到小累加
            for(i=n;i>=n-m+1;--i) F.write(s[i].tot),F.write_char('\n');//输出
        }
}CDQ;
int main()
{
    register int i,x,t=0;
    for(F.read(n),F.read(m),i=1;i<=n;++i) F.read(x),s[s[x].Val=x].Pos=i;
    for(i=1;i<=m;++i) F.read(x),s[x].Time=++t;
    for(i=1;i<=n&&t<=n;++i) if(!s[i].Time) s[i].Time=++t;//对于未被删除的元素，随便安排一个时间
    sort(s+1,s+n+1,cmp_Pos),CDQ.Solve(1,n,1),sort(s+1,s+n+1,cmp_Val),CDQ.Solve(1,n,0);//做两次CDQ分治
    return CDQ.PrintAns(),F.end(),0;//输出答案
}