• 【洛谷3157】[CQOI2011] 动态逆序对(CDQ分治)


    点此看题面

    大致题意: 给你一个从\(1\)\(n\)的排列,问你每次删去一个元素后剩余的逆序对个数。

    关于\(80\)分的树套树

    为了练树套树,我找到了这道题目。

    但悲剧的是,我的 线段树套\(Treap\) 被卡了!只得了\(80\)分。

    其实这个做法思路还是比较简单的,若要删除第\(p_x\)个位置上的元素\(x\),少掉的逆序对个数应为 \([1,p_x-1]\)区间内还未被删掉的元素中小于\(x\)的元素个数 加上 \([p_x+1,n]\)区间内还未被删掉的元素中大于\(x\)的元素个数

    这样理论复杂度是\(O(Mlog^2N)\)的,应该能过。

    但是,树套树常数毕竟太大,依然毫无悬念\(TLE\)了。

    贴一份代码以示哀悼:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
    #define uint unsigned int
    #define LL long long
    #define ull unsigned long long
    #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
    #define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
    #define INF 1e9
    #define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
    #define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1)) 
    #define N 100000
    using namespace std;
    int n,m,a[N+5],p[N+5];
    class FIO
    {
        private:
            #define Fsize 100000
            #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
            #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
            int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
        public:
            FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
            inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
            inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
            inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
            inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
            inline void write_char(char x) {pc(x);}
            inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
            inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
    }F;
    class Class_SegmentTreap//线段树套Treap模板
    {
        private:
            int data[N+5],Root[N<<2];
            class Class_Treap
            {
            	private:
            		#define Rand() ((r*=233333LL)%=2147483647)
            		#define PushUp(x) (node[x].Size=node[node[x].Son[0]].Size+node[node[x].Son[1]].Size+node[x].Cnt)
            		#define Rotate(x,d) (k=node[x].Son[d^1],node[x].Son[d^1]=node[k].Son[d],node[k].Son[d]=x,x=k,PushUp(node[x].Son[d]),PushUp(x))
            		#define Build(val) ((void)(k=Void[tot--],node[k].Val=val,node[k].Cnt=node[k].Size=1,node[k].Son[0]=node[k].Son[1]=0,node[k].Data=Rand()),k)
            		int tot,k,Void[N*50+5];ull r;
            		struct Tree
            		{
            	 	   int Val,Cnt,Size,Data,Son[2];
            		}node[N*50+5];
            		inline void ins(int &x,int val)
            		{
            		    if(!x) return (void)(x=Build(val));
            	  	  	++node[x].Size;
            	    	if(node[x].Val==val) ++node[x].Cnt;
            	    	else if(node[x].Val>val) {ins(node[x].Son[0],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[0]].Data) Rotate(x,1);}
            		   	else {ins(node[x].Son[1],val);if(node[x].Data<node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,0);}
            		    PushUp(x);
            		}
            		inline void del(int &x,int val)
            		{	
            	 		if(!x) return;
            		    if(node[x].Val==val)
            		    {
            		        if(node[x].Cnt>1) return (void)(--node[x].Cnt,PushUp(x));
            		        if(node[x].Son[0]||node[x].Son[1])
            		        {
            		            if(!node[x].Son[1]||node[node[x].Son[0]].Data>node[node[x].Son[1]].Data) Rotate(x,1),del(node[x].Son[1],val);
            		            else Rotate(x,0),del(node[x].Son[0],val);
            		        }
            		        else Void[++tot]=x,x=0;
            		    }
            		    else if(node[x].Val>val) del(node[x].Son[0],val);
            		    else del(node[x].Son[1],val);
            		    PushUp(x);
            		}
            	public:
            		Class_Treap() {r=2333;for(register int i=N*50;i;--i) Void[++tot]=i;}
            		inline void Insert(int &rt,int val) {ins(rt,val);}
            		inline void Delete(int &rt,int val) {del(rt,val);}
            		inline int count_min(int rt,int val)
            		{
            		    register int x=rt,rk=0;
            		    while(x) node[x].Val>val?x=node[x].Son[0]:(rk+=node[node[x].Son[0]].Size+node[x].Cnt,x=node[x].Son[1]);
            		    return rk;
            		}
            		inline int count_max(int rt,int val)
            		{
            		    register int x=rt,rk=0;
            		    while(x) node[x].Val>val?(rk+=node[node[x].Son[1]].Size+node[x].Cnt,x=node[x].Son[0]):x=node[x].Son[1];
            		    return rk;
            		}
            	    #undef Build
            }Treap;
            inline void Build(int l,int r,int rt)
            {
                register int i,mid=l+r>>1;
                for(i=l;i<=r;++i) Treap.Insert(Root[rt],data[i]);
                if(l^r) Build(l,mid,rt<<1),Build(mid+1,r,rt<<1|1);
            }
            inline void Del(int l,int r,int rt,int pos)
            {
                register int i,mid=l+r>>1;
                if(l<=pos&&pos<=r) Treap.Delete(Root[rt],data[pos]);
                if(l^r) pos<=mid?Del(l,mid,rt<<1,pos):Del(mid+1,r,rt<<1|1,pos);
            }
            inline int count_min(int l,int r,int rt,int ql,int qr,int val)
            {
                register int i,res=0,mid=l+r>>1;
                if(ql<=l&&r<=qr) return Treap.count_min(Root[rt],val);
                if(ql<=mid) res+=count_min(l,mid,rt<<1,ql,qr,val);
                if(mid<qr) res+=count_min(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,val);
                return res;
            }
            inline int count_max(int l,int r,int rt,int ql,int qr,int val)
            {
                register int i,res=0,mid=l+r>>1;
                if(ql<=l&&r<=qr) return Treap.count_max(Root[rt],val);
                if(ql<=mid) res+=count_max(l,mid,rt<<1,ql,qr,val);
                if(mid<qr) res+=count_max(mid+1,r,rt<<1|1,ql,qr,val);
                return res;
            }
        public:
            inline void Init(int *num) {for(register int i=1;i<=n;++i) data[i]=num[i];Build(1,n,1);}
            inline void Delete(int pos) {Del(1,n,1,pos);}
            inline int CountMin(int ql,int qr,int val) {return ql<=qr?count_min(1,n,1,ql,qr,val):0;}
            inline int CountMax(int ql,int qr,int val) {return ql<=qr?count_max(1,n,1,ql,qr,val):0;}
    }SegmentTreap;
    int main()
    {
        register int i,x,ans=0; 
        for(F.read(n),F.read(m),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),p[a[i]]=i;//用p记录值为a[i]的元素的位置
        for(SegmentTreap.Init(a),i=1;i<=n;++i) ans+=SegmentTreap.CountMin(i+1,n,a[i]);//求逆序对
        for(i=1;i<=m;++i) F.read(x),F.write(ans),F.write_char('\n'),ans-=SegmentTreap.CountMax(1,p[x]-1,x)+SegmentTreap.CountMin(p[x]+1,n,x),SegmentTreap.Delete(p[x]);//更新ans,然后删除该元素
        return F.end(),0;
    }
    

    正解:\(CDQ\)分治

    所以,这题的正解应该是码量小、常数小\(CDQ\)分治

    其实,这题就是\(CDQ\)分治最常见的运用:求三维偏序,只不过要将题意进行一些转化。

    我们可以用分别用\(Pos_x,Val_x,Time_x\)来表示该元素的位置、值以及被删除的时间(对于那些没被删除的元素,随便安排一个大于\(M\)的时间即可,不会影响答案)。

    不难发现,一个元素造成的贡献如下:

    • 满足\(Time_x<Time_y,Pos_x<Pos_y,Val_x>Val_y\)\(y\)的个数。
    • 满足\(Time_x<Time_y,Pos_x>Pos_y,Val_x<Val_y\)\(y\)的个数。

    这样一来,只要求两遍三维偏序即可。

    最后输出时将贡献值按时间从大到小累加,然后输出即可(具体实现可以看代码)。

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
    #define uint unsigned int
    #define LL long long
    #define ull unsigned long long
    #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
    #define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
    #define INF 1e9
    #define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
    #define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
    #define N 100000 
    using namespace std;
    int n,m;
    struct value
    {
        int Val,Pos,Time;
        LL tot;
    }s[N+5];
    class FIO
    {
        private:
            #define Fsize 100000
            #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
            #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
            LL f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
        public:
            FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
            inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
            inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
            inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
            inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
            inline void write_char(char x) {pc(x);}
            inline void write_string(string x) {register LL i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
            inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
    }F;
    inline bool cmp_Pos(value x,value y) {return x.Pos>y.Pos;}
    inline bool cmp_Val(value x,value y) {return x.Val>y.Val;}
    inline bool cmp_Time(value x,value y) {return x.Time>y.Time;}
    class Class_CDQ//CDQ分治求解三维偏序
    {
        private:
            class Class_BIT//树状数组
            {
                private:
                    #define lowbit(x) ((x)&-(x))
                    int data[N+5];
                public:
                    inline void Add(int x,int y) {while(x<=n) data[x]+=y,x+=lowbit(x);}
                    inline LL Query(int x,LL ans=0) {while(x) ans+=data[x],x-=lowbit(x);return ans;}
            }BIT;
        public:
            inline void Solve(int l,int r,int flag)//flag表示是第一次CDQ分治还是第二次CDQ分治
            {
                if(l>=r) return;
                register int mid=l+r>>1,i,j=l;
                Solve(l,mid,flag),Solve(mid+1,r,flag),sort(s+l,s+mid+1,cmp_Time),sort(s+mid+1,s+r+1,cmp_Time);
                for(i=mid+1;i<=r;++i)
                {
                    while(j<=mid&&s[j].Time>s[i].Time) BIT.Add(flag?s[j].Val:s[j].Pos,1),++j;
                    s[i].tot+=BIT.Query(flag?s[i].Val:s[i].Pos);
                }
                for(i=l;i<j;++i) BIT.Add(flag?s[i].Val:s[i].Pos,-1); 
            }
            inline void PrintAns()//输出答案
            {
                register int i;
                for(sort(s+1,s+n+1,cmp_Time),i=2;i<=n;++i) s[i].tot+=s[i-1].tot;//将贡献按时间从大到小累加
                for(i=n;i>=n-m+1;--i) F.write(s[i].tot),F.write_char('\n');//输出
            }
    }CDQ;
    int main()
    {
        register int i,x,t=0;
        for(F.read(n),F.read(m),i=1;i<=n;++i) F.read(x),s[s[x].Val=x].Pos=i;
        for(i=1;i<=m;++i) F.read(x),s[x].Time=++t;
        for(i=1;i<=n&&t<=n;++i) if(!s[i].Time) s[i].Time=++t;//对于未被删除的元素,随便安排一个时间
        sort(s+1,s+n+1,cmp_Pos),CDQ.Solve(1,n,1),sort(s+1,s+n+1,cmp_Val),CDQ.Solve(1,n,0);//做两次CDQ分治
        return CDQ.PrintAns(),F.end(),0;//输出答案
    }               
    
    败得义无反顾,弱得一无是处
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