• 【洛谷2522】[HAOI2011] Problem b(莫比乌斯反演)


    点此看题面

    大致题意:(sum_{x=a}^bsum_{y=c}^d[gcd(x,y)==k])

    关于另一道题目

    在看这篇博客之前,如果你做过一道叫做【BZOJ1101】[POI2007] Zap的题目,那么此题就很简单了。

    如果没做过,还是推荐你先去做一下吧。

    解题思路

    做完了上面提到的那题,或许对这题你就有一个很显然的想法了。

    差分

    其实,上面那题就是此题(a=c=1)的特殊版本。

    因此,如果令(ans_{i,j}=sum_{x=1}^isum_{y=1}^j[gcd(x,y)==k]),则:

    [answer=ans_{b,d}-ans_{a-1,d}-ans_{b,c-1}+ans_{a-1,c-1} ]

    于是就水过了(相当于双倍经验啊)。

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
    #define uint unsigned int
    #define LL long long
    #define ull unsigned long long
    #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
    #define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
    #define INF 1e9
    #define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
    #define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
    #define N 50000
    using namespace std;
    int X1,Y1,X2,Y2,k;
    class FIO
    {
        private:
            #define Fsize 100000
            #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
            #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
            int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
        public:
            FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
            inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
            inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
            inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
            inline void write(LL x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
            inline void write_char(char x) {pc(x);}
            inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
            inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
    }F;
    class Class_Mobius//莫比乌斯反演
    {
        private:
            int Prime_cnt,mu[N+5],Prime[N+5];bool IsNotPrime[N+5];
        public:
            LL sum[N+5];
            Class_Mobius()//预处理
            {
                register int i,j;
                for(mu[1]=1,i=2;i<=N;++i)//求出莫比乌斯函数
                {
                    if(!IsNotPrime[i]) Prime[++Prime_cnt]=i,mu[i]=-1;
                    for(j=1;j<=Prime_cnt&&i*Prime[j]<=N;++j) 
                        if(IsNotPrime[i*Prime[j]]=true,i%Prime[j]) mu[i*Prime[j]]=-mu[i];else break;
                }
                for(i=1;i<=N;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];//求前缀和
            }
    }Mobius;
    inline LL GetAns(int n,int m,int k)//用一个函数表示结果,这样只需调用4次函数即可
    {
        register int l,r,lim;register LL ans=0;
       	for(ans=0,l=1,lim=min(n,m)/k;l<=lim;l=r+1) r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=1LL*(n/(l*k))*(m/(l*k))*(Mobius.sum[r]-Mobius.sum[l-1]);//除法分块
       	return ans;
    }
    int main()
    {
        register int T;F.read(T);
        while(T--) F.read(X1),F.read(Y1),F.read(X2),F.read(Y2),F.read(k),F.write(GetAns(Y1,Y2,k)-GetAns(X1-1,Y2,k)-GetAns(Y1,X2-1,k)+GetAns(X1-1,X2-1,k)),F.write_char('
    ');//利用差分的思想
        return F.end(),0;
    }
    
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