内容
若(p)为素数，(a)为正整数，且(gcd(a,p)=1)（即(a,p)互质）,则(a^{p−1}equiv1(mod p))。
三个小性质
首先我们要证明三个小性质。
因为(p)为素数，所以(gcd(i,p)=1)((1le ile p-1),(i)为整数），可推出：
[gcd((p-i)!,p)=1 ag{①}
]
又因为(gcd(a,p)=1)，所以(gcd(i∗a,p)=1)，则：
[ ext{没有一个}i*a ext{是}p ext{的倍数} ag{②}
]
设(a=b*p+r)，则(gcd(i*r,p)=1)，没有一个(i*r)是(p)的倍数。
假设有两个(i*r)在模(p)意义下同余，即设(c*requiv d*r(mod p)(c<d))。
那么((d-c)*requiv 0(mod p))，即(p|(d−c)∗r)。
由于(1le d−cle p−1)，这与没有一个(i*r)是(p)的倍数矛盾。
所以(i*r)中没有任何两个数在模(p)意义下同余得证。即：
[i*a ext{中没有任何两个数在模}p{意义下同余} ag{③}
]
费马小定理的证明
证明了①②③，我们就可以证明费马小定理了：
由于②③，我们可以得知(i*a\%p)之后一定是(1,2,3,…,p-1)的一个排列，也就是：
[a∗2a∗3a∗…∗(p−1)a≡1∗2∗3∗…∗(p−1)(mod p)
]
即：
[(p−1)!∗a^{p−1}≡(p−1)!(mod p)
]
因为①，所以可以同除以((p-1)!)，得：
[a^{p−1}≡1(mod p)
]
费马小定理得证。