• 【BZOJ3123】[SDOI2013] 森林(启发式合并主席树)


    点此看题面

    大致题意: 给你一片森林,有两种操作:询问两点之间的第\(k\)小点权和在两棵树之间连一条边。

    前置技能:树上主席树

    做这道题目,我们首先要会树上主席树

    关于树上主席树,这有一道很好的例题:【洛谷2633】Count on a tree(只包含此题的询问操作)。

    接下来,我们就将询问操作略过不提了(毕竟在这道题目中已经介绍过了),而主要讲讲如何连边。

    启发式合并主席树

    对于连边操作,我们需要启发式合并主席树(当然,也有一些奆佬是用\(LCT\)的)。

    关于启发式合并的时间复杂度证明,我写过一篇很烂的博客,可以去看一下(其实它与按秩合并是同一个东西)。

    如果要将两棵主席树合并,我们一般选择将深度小的主席树合并到深度大的主席树上。

    千万注意,比较的是深度而不是子树大小!不然会像我一样\(T\)飞。

    至于为什么比较深度,在此摘录\(hl666\)神犇的原话如下:

    \(Excerpt\)

    影响主席树时间效率的是深度,而不是子树大小,子树大小对时间效率是没有任何直接影响的。

    哦,对了,还没有讲怎么合并。

    其实也非常简单,直接对深度较小的主席树重新扫一遍进行更新即可(具体操作见代码吧)。

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
    #define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
    #define uint unsigned int
    #define LL long long
    #define ull unsigned long long
    #define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)
    #define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
    #define INF 1e9
    #define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))
    #define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))
    #define N 80000
    #define LogN 20
    #define add(x,y) (e[++ee].nxt=lnk[x],e[lnk[x]=ee].to=y)
    using namespace std;
    int n,m,cnt,ee=0,a[N+5],p[N+5],lnk[N+5],Depth[N+5],fa[N+5][LogN+5];
    struct edge
    {
        int to,nxt;
    }e[(N<<1)+5];
    class FIO
    {
        private:
            #define Fsize 100000
            #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)
            #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))
            int f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];
        public:
            FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}
            inline void read(int &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}
            inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}
            inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}
            inline void write(int x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}
            inline void write_char(char x) {pc(x);}
            inline void write_string(string x) {register int i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}
            inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}
    }F;
    inline int LCA(int x,int y)//倍增LCA
    {
        register int i;
        if(Depth[x]<Depth[y]) swap(x,y);
        for(i=0;Depth[x]^Depth[y];++i) if((Depth[x]^Depth[y])&(1<<i)) x=fa[x][i];
        if(!(x^y)) return x;
        for(i=0;fa[x][i]^fa[y][i];++i);
        for(--i;i>=0;--i) if(fa[x][i]^fa[y][i]) x=fa[x][i],y=fa[y][i];
        return fa[x][0];
    }
    inline int GetRt(int x)//求出x所在树的根
    {
        register int i;
        for(i=0;Depth[x];++i) if(Depth[x]&(1<<i)) x=fa[x][i];
        return x;
    }
    class Class_ChairmanTree//主席树
    {
        private:
            int n,tot,Root[N+5];
            struct Tree
            {
                int Val,Size,Level,Son[2];
            }node[N*LogN<<4];
            inline void Build(int l,int r,int &rt)//建树
            {
                if(!rt&&(rt=++tot),!(l^r)) return;
                register int mid=l+r>>1;
                Build(l,mid,node[rt].Son[0]),Build(mid+1,r,node[rt].Son[1]);
            }
            inline void ins(int l,int r,int &rt,int lst,int val)//插入
            {
                if(node[rt=++tot]=node[lst],++node[rt].Size,!(l^r)) return;
                register int mid=l+r>>1;
                val<=mid?ins(l,mid,node[rt].Son[0],node[lst].Son[0],val):ins(mid+1,r,node[rt].Son[1],node[lst].Son[1],val);
            }
            inline int qry(int l,int r,int rt1,int rt2,int rt3,int rt4,int k)//询问
            {
                if(!(l^r)) return l;
                register int mid=l+r>>1,t=node[node[rt3].Son[0]].Size+node[node[rt4].Son[0]].Size-node[node[rt1].Son[0]].Size-node[node[rt2].Son[0]].Size;
                if(t>=k) return qry(l,mid,node[rt1].Son[0],node[rt2].Son[0],node[rt3].Son[0],node[rt4].Son[0],k);
                else return qry(mid+1,r,node[rt1].Son[1],node[rt2].Son[1],node[rt3].Son[1],node[rt4].Son[1],k-t);
            }
        public:
            inline void Init(int len) {Build(1,n=len,Root[0]);}//初始化
            inline void Insert(int v,int nv,int val) {ins(1,n,Root[nv],Root[v],val);}
            inline int Query(int v1,int v2,int k) {return qry(1,n,Root[LCA(v1,v2)],Root[fa[LCA(v1,v2)][0]],Root[v1],Root[v2],k);}
            inline bool Smaller(int rt1,int rt2) {return node[rt1].Level<node[rt2].Level;}//判断rt1所在树的深度是否小于rt2所在树的深度
            inline void AddLevel(int rt) {++node[rt].Level;}//将rt所在树的深度加1
    }ChairmanTree;
    inline int find(int x)//离散化
    {
        register int l=1,r=cnt,mid=l+r>>1;
        for(;l<=r;mid=l+r>>1) p[mid]<x?l=mid+1:r=mid-1;
        return l;
    }
    inline void Init(int x)//初始化
    {
        register int i;
        for(ChairmanTree.Insert(fa[x][0],x,find(a[x])),i=1;i<=LogN;++i) fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
        for(i=lnk[x];i;i=e[i].nxt) if(fa[x][0]^e[i].to) Depth[e[i].to]=Depth[x]+1,fa[e[i].to][0]=x,Init(e[i].to);
    }
    int main()
    {
        register int i,x,y,z,fx,fy,Q,ans=0;register char op;
        for(F.read(n),F.read(n),F.read(m),F.read(Q),i=1;i<=n;++i) F.read(a[i]),p[i]=a[i];
        for(i=1;i<=m;++i) F.read(x),F.read(y),add(x,y),add(y,x);
        for(sort(p+1,p+n+1),ChairmanTree.Init(cnt=unique(p+1,p+n+1)-p-1),i=1;i<=n;++i) if(!fa[i][0]) Init(i);
        while(Q--)
        {
        	F.read_char(op),F.read(x),F.read(y);
            if(op^'L') F.read(z),F.write(ans=p[ChairmanTree.Query(x^ans,y^ans,z^ans)]),F.write_char('\n');
            else 
            {
                fx=GetRt(x^=ans),fy=GetRt(y^=ans),add(x,y),add(y,x);//记得连边
                if(ChairmanTree.Smaller(fx,fy)) swap(fx,fy),swap(x,y);//比较深度,选择深度较小的树合并到深度较大的树上
                ChairmanTree.AddLevel(fx),fa[y][0]=x,Depth[y]=Depth[x]+1,Init(y);//重新建树
            }
        }
        return F.end(),0;
    }
    
    败得义无反顾,弱得一无是处
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