高数准备：

一、准备知识

1.数集表示符号：

1. 自然数集：N  代表自然数集（非负整数集）。表示物体个数的数叫自然数，如（0，1，2，3...）。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。
2. 而N*则表示正整数集,英文是natural number。
3. 整数集：Z  来自于德语,德语中的整数叫做Zahlen。（integer）如（-3,-2,-1,0,1,2,3）等这样的数。整数集是一个数环。整数不包括小数，分数。
4. 有理数集：Q  由于两个数之比(商)叫做有理数,商的英文是quotient,所以用Q来表示。如,是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。【有理数的小数部分是有限或为无限循环的数】。不是有理数的实数称为【无理数】，【无理数的小数部分是无限不循环的数】。
5. 实数集：R  表示集合理论中的实数集,而复数中的实数部分也以此符号为代表,英文是real number。实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

2.数轴：

建立数轴后，实数与数轴上点一 一对应；建立实数集A，与数轴上某一区间一 一对应；

3.开区间：

直线上介于固定的两点间的所有点的集合（不包含给定的两点），用(a,b)来表示（不包含两个端点a和b）。开区间的实质仍然是数集，该数集用符号（a，b）表示，含义一般是在实数a和实数b之间的所有实数，但不包含a和b。相当于{x|a<x<b}，记作（a,b） 取值不包括a、b。

（开区间在数轴上用空心点表示）

4.闭区间：

闭区间是数学用语，与开区间相对。

直线上介于固定的两点间的所有点的集合（包含给定的两点）。 闭区间是直线上的连通的闭集。由于它是有界闭集，所以它是紧致的。

闭区间的函数为小于等于的关系，即【-∞≤a≤+∞（正无穷大到负无穷大）】，在数轴上为实心点。闭区间的余集（就是补集）是两个开区间的并集。实数理论中有著名的闭区间套定理。

代表符号：[x,y] ，即从x值开始到y值，包含x、y。比如：x的取值范围是3到5的闭区间，那么用数学语言表示即为 [3,5] ，也就是从3（含）到5（含）之间的数

闭区间数轴上用实心点表示（第1个）：

（各区间数轴表示，符号表示）

5.邻域：

【邻域】是一个特殊的区间，以点a为中心点任何开区间称为点a的邻域，记作U(a)。

【点a的δ邻域】：设δ是一个正数，则开区间（a-δ，a+δ）称为点a的δ邻域，记作  ,点a称为这个邻域的中心，δ称为这个邻域的半径。由于  相当于

  

，因此，

  

表示与点a的距离小于δ的一切点x的全体。

（）

(邻域)

点a的去心δ邻域：有时用到的邻域需要把邻域中心去掉，点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域，记作  （表达方法是在U上标一个小的0）,即

  

,这里

  

表示

  

。有时把开区间(a - δ, a)称为a的左δ邻域，把开区间(a, a + δ)称为a的右δ邻域。

 若x的邻域同时是X中的开集，称其为x的开邻域；若它同时是X中的闭集则称其为x的闭邻域。

拓扑学解释：

设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集，点x∈A。如果存在集合U，满足以下条件：

1. U是开集，即U∈τ；
2. 点x∈U；
3. U是A的子集，

则称点x是A的一个内点，并称A是点x的一个邻域。若A是开（闭）集，则称为开（闭）邻域。

拓扑空间相关结论：

1. 拓扑空间X，X的子集A是开集，当且仅当A是其中所有点的邻域。（显然由此可知，从邻域公理出发可以等价地定义拓扑空间）。
2. 拓扑空间X，X的子集A和A°，A°是A的开核，当且仅当A° = {x | ∃U∈U(x)，U⊆A}。
3. 拓扑空间X，X的子集A和A’，A’是A的闭包，当且仅当A’ = {x | ∀U∈U(x)，U∩A ≠ ∅}

 6.去心邻域：

去心邻域即在a的邻域中去掉a的数的集合，应用于高等数学。在拓扑学中，设A是拓扑空间(X,τ)的一个子集，点x∈A。如果存在集合U，满足 U 是开集，即 U∈τ；点x∈U；U 是A的子集，则称点 x 是 A 的一个内点，并称 A 是点 x 的一个邻域。

只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x|a-δ<x<a∨a<x<a+δ}，称这个点集为点a的去心邻域，记为  ，即  。如下图所示：

圆角=2π ( 这是用弧度制表示的角 )

因为：弧度 = 弧长/半径
360角是一个圆周，弧长是2πr，所以：弧度=2πr/r=2π
所以360度等于：2π

直角三角形三角函数定义

在直角三角形中，当平面上的三点A、B、C的连线，AB、AC、BC，构成一个直角三角形，其中∠ACB为直角。对∠BAC而言，对边（opposite）a=BC、斜边（hypotenuse）c=AB、邻边（adjacent）b=AC，则存在以下关系：

基本函数	英文	缩写	表达式	语言描述	三角形
正弦函数	sine	sin	a/c	∠A的对边比斜边
余弦函数	cosine	cos	b/c	∠A的邻边比斜边
正切函数	tangent	tan	a/b	∠A的对边比邻边
余切函数	cotangent	cot	b/a	∠A的邻边比对边
正割函数	secant	sec	c/b	∠A的斜边比邻边
余割函数	cosecant	csc	c/a	∠A的斜边比对边

(注：正切函数、余切函数曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法)

基本三角函数关系的速记方法

六边形

如上图，六边形的六个角分别代表六种三角函数，存在如下关系：

1）对角相乘乘积为1，即sinθ·cscθ=1； cosθ·secθ=1； tanθ·cotθ=1。

2）六边形任意相邻的三个顶点代表的三角函数，处于中间位置的函数值等于与它相邻两个函数值的乘积，如：sinθ=cosθ·tanθ；tanθ=sinθ·secθ...

3）阴影部分的三角形，处于上方两个顶点的平方之和等于下顶点的平方值，如：

  

  

  

变化规律

• 正弦值在  随角度增大（减小）而增大（减小），在  随角度增大（减小）而减小（增大）；

• 余弦值在
    
  随角度增大（减小）而增大（减小），在
    
  随角度增大（减小）而减小（增大）；

• 正切值在
    
  随角度增大（减小）而增大（减小）；余切值在
    
  随角度增大（减小）而减小（增大）；

• 正割值在  随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余割值在
    
  随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。

注：以上其他情况可类推，参考https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%87%BD%E6%95%B0/1652457?fr=aladdin

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