蓝桥杯比赛：对算法题进行一些整理，以C语言为主。
题目：
1.杨辉三角形
在屏幕上显示杨辉三角形
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
......................................
问题分析与算法设计
杨辉三角形中的数，正是(x+y)的N次方幂展开式各项的系数。本题作为程序设计中具有代表性的题目，求解的方法很多，这里仅给出一种。
从杨辉三角形的特点出发，可以总结出：
1)第N行有N+1个值(设起始行为第0行)
2)对于第N行的第J个值：(N>=2)
当J=1或J=N+1时：其值为1
J!=1且J!=N+1时：其值为第N-1行的第J-1个值与第N-1行第J个值之和
将这些特点提炼成数学公式可表示为：
1 x=1或x=N+1
c(x,y)= c(x-1,y-1)+c(x-1,y) 其它
本程序应是根据以上递归的数学表达式编制的。
源代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 4 int c(int x,int y) /*求杨辉三角形中第x行第y列的值*/ 5 { 6 int z; 7 if((y==1)||(y==x+1)) return 1; /*若为x行的第1或第x+1列，则输出1*/ 8 z=c(x-1,y-1)+c(x-1,y); /*否则，其值为前一行中第y-1列与第y列值之和*/ 9 return z; 10 } 11 void main() 12 { 13 int i,j,n=13; 14 printf("N="); 15 while(n>12) 16 scanf("%d",&n); /*控制输入正确的值以保证屏幕显示的图形正确*/ 17 for(i=0;i<=n;i++) /*控制输出N行*/ 18 { 19 for(j-0;j<24-2*i;j++) printf(" "); /*控制输出第i行前面的空格*/ 20 for(j=1;j<i+2;j++) printf("%4d",c(i,j)); /*输出第i行的第j个值*/ 21 printf(" "); 22 } 23 system("pause"); 24 }
运行结果：
2.歌德巴赫猜想
验证：2000以内的正偶数都能够分解为两个素数之和(即验证歌德巴赫猜想对2000以内的正偶数成立)。
问题分析与算法设计：
为了验证歌德巴赫猜想对2000以内的正偶数都是成立的，要将整数分解为两部分，然后判断出分解出的两个整数是否均为素数。若是，则满足题意；否则重新进行分解和判断。
程序中对判断是否为素数的算法进行了改进，对整数判断“用从2开始到该整数的一半”改为“2开始到该整数的平方根”。原因何在请自行分析。
源代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #include<math.h> 4 int flag(int n); 5 void main() 6 { 7 int i,n; 8 for(i=4;i<=2000;i+=2)/*范围，且保证为偶数时执行循环体*/ 9 { 10 for(n=2;n<i;n++) /*将偶数i分解为两个整数*/ 11 if(flag(n)) /*分别判断两个整数是否均为素数*/ 12 { 13 if(flag(i-n)) 14 { 15 printf("%10d=%d+%d",i,n,i-n); /*若均是素数则输出*/ 16 break; 17 } 18 19 } 20 21 if(n==i) 22 { 23 printf("error %d",i); 24 break; 25 } 26 } 27 } 28 int flag(int i) /*判断是否为素数*/ 29 { 30 int j; 31 if(i<=1)return 0; 32 if(i==2)return 1; 33 if(!(i%2))return 0; /*if no,return 0*/ 34 for(j=3;j<=(int)(sqrt((double)i)+1);j+=2)/*求平方根*/ 35 { 36 if(!(i%j))/*判断是否为素数*/ 37 { 38 return 0; 39 } 40 41 } 42 system("pause"); 43 return 1; /*if yes,return 1*/ 44 45 }
运行结果：
3.马克思手稿中的数学题
马克思手稿中有一道趣味数学问题：有30个人，其中有男人、女人和小孩，在一家饭馆吃饭花了50先令；每个男人花3先令，每个女人花2先令，每个小孩花1先令；问男人、女人和小孩各有几人？
题目分析与算法设计：
设x,y,z分别代表男人、女人和小孩。按题目的要求，可得到下面的方程：
x+y+z=30 (1)
3x+2y+z=50 (2)
用方程程序求此不定方程的非负整数解，可先通过(2)-(1)式得：
2x+y=20
(3)
由(3)式可知，x变化范围是0~10
源代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 void main() 4 { 5 int x,y,z,count=0; 6 printf(" Men Women Children "); 7 printf("========================================== "); 8 for(x=0;x<=10;x++) 9 { 10 y=20-2*x; /*x定值据(3)式求y*/ 11 z=30-x-y; /*由(1)式求z*/ 12 if(3*x+2*y+z==50) /*当前得到的一组解是否满足式(2)*/ 13 printf(" %2d: %d %d %d ",++count,x,y,z); 14 } 15 system("pause"); 16 }
运行结果：
4.谁是窃贼
公安人员审问四名窃贼嫌疑犯。已知，这四人当中仅有一名是窃贼，还知道这四人中每人要么是诚实的，要么总是说谎的。在回答公安人员的问题中：
甲说：“乙没有偷，是丁偷的。”
乙说：“我没有偷，是丙便的。”
丙说：“甲没有偷，是乙偷的。”
丁说：“我没有偷。”
请根据这四人的答话判断谁是盗窃者。
问题分析与算法设计：
假设A、B、C、D分别代表四个人，变量的值为1代表该人是窃贱。
由题目已知：四人中仅有一名是窃贱，且这四个人中的每个人要么说真话，要么说假话，而由于甲、乙、丙三人都说了两句话：“X没偷，X偷了”，故不论该人是否说谎，他提到的两人中必有一人是小偷。故在列条件表达式时，可以不关心谁说谎，谁说实话。这样，可以列出下列条件表达式：
甲说：”乙没有偷，是丁偷的。” B+D=1
乙说：“我没有偷，是丙偷有。” B+C=1
丙说：“甲没有偷，是乙偷的。” A+B=1
丁说：“我没有偷。” A+B+C+D=1
其中丁只说了一句话，无法判定其真假，表达式反映了四人中仅有一名是窃贱的条件。
源代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 void main() 4 { 5 int i,j,a[4]; 6 for(i=0;i<4;i++) /*假定只有第i个人为窃贱*/ 7 { 8 for(j=0;j<4;j++) /*将第i个人设置为1表示窃贱，其余为0*/ 9 if(j==i)a[j]=1; 10 else a[j]=0; 11 if(a[3]+a[1]==1&&a[1]+a[2]==1&&a[0]+a[1]==1) /*判断条件是否成立*/ 12 { 13 printf("The thief is "); /*成立*/ 14 for(j=0;j<=3;j++) /*输出计算结果*/ 15 if(a[j])printf("%c.",j+'A'); 16 printf(" "); 17 } 18 } 19 system("pause"); 20 }
运行结果：
5.迷语博士的难题(1)
诚实族和说谎族是来自两个荒岛的不同民族，诚实族的人永远说真话，而说谎族的人永远说假话。迷语博士是个聪明的人，他要来判断所遇到的人是来自哪个民族的。
迷语博士遇到三个人，知道他们可能是来自诚实族或说谎族的。为了调查这三个人是什么族的，博士分别问了他们的问题，这是他们的对话：
问第一个人：“你们是什么族？”，答：“我们之中有两个来自诚实族。”第二个人说：“不要胡说，我们三个人中只有一个是诚实族的。”第三个人听了第二个人的话后说：“对，就是只有一个诚实族的。”
请根据他的回答判断他们分别是哪个族的。
问题分析与算法设计：
假设这三个人分别为A、B、C，若说谎其值为0，若诚实，其值为1。根据题目中三个人的话可分别列出：
第一个人：
a&&a+b+c==2||!a&&a+b+c!=2
第二个人：
b&&a+b+c==1||!b&&a+b+c!=1
第三个人：
c&&a+b+c==1||!c&&a+b+c!=1
利用穷举法，可以很容易地推出结果。
源代码：
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 void main() 4 { 5 int a,b,c; 6 for(a=0;a<=1;a++) /*穷举每个人是说谎还是诚实的全部情况*/ 7 for(b=0;b<=1;b++) /*说谎：0 诚实：1*/ 8 for(c=0;c<=1;c++) 9 if((a&&a+b+c==2||!a&&a+b+c!=2) /*判断是否满足题意*/ 10 &&(b&&a+b+c==1||!b&&a+b+c!=1) 11 &&(c&&a+b+c==1||!c&&a+b+c!=1)) 12 { 13 printf("A is a %s. ",a?"honest":"lier"); /*输出判断结果*/ 14 printf("B is a %s. ",b?"honest":"lier"); 15 printf("C is a %s. ",c?"honest":"lier"); 16 } 17 system("pause"); 18 }
运行结果：
6.小结
数学题的逻辑 ！！！