倍增算法的一些应用

我所了解的倍增算法

我所了解的倍增算法大体是这样的，当我们想知道2^n次方这么个长度范围内的某个值（如最大值或者最小值），如果我知道了所有的2^(n-1)次方长度范围内的值，这样我就可以通过我所知道的这些值中算出我要的值。具体在定义的时候一般是这样的

anc[i][k] 表示以i开头，长度为2^k次方的这么一个区间我们所要的值（这里以最小值为例），那么当我知道一个数组的所有数之后，我就可以用nlogn的时间来进行预处理，然后可以用logn的时间来获得任意一个区间的最小值

具体可以这样来做

for (int i=1;i<=n;i++) anc[i][0] = a[i];
for (int k=1;k<=20;k++)
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        anc[i][k] = min(ans[i][k-1], ans[i + (1<<(k-1))][k-1]);

因为我们知道任意一个区间都可以有2的多个次方组成，故可以用多个2^k来组成一个区间，这样就可以在logn的时间求出我们想要的值

倍增算法的应用

1，在求最大值及最小值上的应用

正如上面所说的，倍增算法可以用来求最小值，同时也可以用来求最大值，只要把min改成max就可以了，这也是所说的RMQ算法

2，用来求LCA

LCA就是最近公共祖先，就是一棵树，求两个结点的最近公共祖先，我们也可以像刚才的代码一样预处理出anc数组

for (int i=1;i<=n;i++) anc[i][0] = fa[i];
for (int k=1;k<=20;k++)
    for (int i=1;i<=n;i++) 
        anc[i][k] = min(ans[i][k-1], ans[i + (1<<(k-1))][k-1]);

只是预处理的时候距离为1的祖先应该是其父亲结点，然后在求两个结点的最近公共祖先时，先把深度的结点上升到和深度较小的结点一样的深度，具体的上升方法也用anc这个数组来升，就是把u节点上升到第H个祖先的位置，即长度为H，起始位置为u，然后在应用anc数组，找到两个结点的Lca，具体看下面代码

上升
void swim(int &x,int H){for (int i=0;H>0;i++){if (H&1) x=anc[x][i]; H/=2; }}

获得LCA
int Lca(int u,int v)
{
     int i;
     if (dep[u]>dep[v]) swap(u,v); //printf("%d %d
",u,v);
     swim(v,dep[v]-dep[u]); //printf("%d
",v);
     if (u==v) return u;
     for (; ;)
     {
          for (i=0;anc[u][i]!=anc[v][i];i++); //printf("%d %d %d %d
",u,anc[u][i],v,anc[v][i]);
          if (i==0) return anc[u][0];
          u=anc[u][i-1]; v=anc[v][i-1];
     }
     return -1;
}

3，扩展应用

可以看出，只要是满足结合律，我们都可以用这个方法来求，如gcd（最大公约数），没想到吧，一个区间的最大公约数也可以这样来求，其他的只要满足结合律关系的，在对区间询问时，都可以考虑一下这样的算法

4，换位思考后的应用

我们一般都是考虑区间里面的某个值，可不可以倒过来，考虑值，然后存区间呢？

曾经碰到过这样一个题：

　　X轴上有很多区间，现在有m个询问，给你一个区间[L，R]，问这个区间内最多有多少个不重复的区间

这个题就可以考虑倍增算法，anc[i][k]表示以i开始，2^k次方个不想交的区间的最右边的位置的最小值，于是以同样的做法，稍加处理就可以得到任意一个区间的答案

以上便是我给出的几个方面的应用，当然1，2都是显然的，而3，4都是要求结合实际问题来讨论的