DFT计算过程详解

DFT计算过程详解

平时工作中，我们在计算傅里叶变换时，通常会直接调用Matlab中的FFT函数，或者是其他编程语言中已经为我们封装好的函数，很少去探究具体的计算过程，本文以一个具体的例子，向你一步一步展示DFT的计算过程。

众所周知，傅里叶变换的计算公式为：

 

对时域信号进行离散化：

 

根据欧拉定理：

 

DFT方程改写为：

 

为第m个DFT输出值，

 

为采样点输入，

 假设N=4：

 

 则：

m=0

 

m=1

 

 m=2

 

m=3

 

这里需要补充一个采样率的概念。

假设对原始信号的采样率为：

 

对原始信号做16点DFT进行分析，则基频为：

 

则：

X(0) = 1^st   frequency term ,with analysis frequency = 0 .31.25 = 0Hz;

X(1) = 2^nd  frequency term ,with analysis frequency = 1.31.25 = 31.25Hz;

X(2) = 3^rd  frequency term ,with analysis frequency = 2 .31.25 = 62.5Hz;

X(3) = 4^th  frequency term ,with analysis frequency = 3 .31.25 = 93.75Hz;

分析频率的公式可以计为：

 

下面进入正题，对一个特定信号进行DFT分析。

原始信号为：

 

可以看出此信号包含1kHz和2kHz的信号，现在一步一步的对此信号做8点DFT分析。

假设采样率为，即每秒采集一个点，由于N=8，因此我们需要8个输入采样点来计算DFT，即对原始信号进行离散化为：

 

 如果采样率samples/s,则DFT的结果将计算的是输入信号x(n)在分析频率，0KHz,1kHz,2KHz,...,7kHz处的梯度值。

则：

 

当m=1时，即计算原始信号在1kHz下的梯度值：

 

 

当m=2时，即计算原始信号在2kHz下的梯度值：

 

当m=3时，即计算原始信号在3kHz下的梯度值：

 

当m=4时，即计算原始信号在4kHz下的梯度值：

 

当m=5时，即计算原始信号在5kHz下的梯度值：

 

当m=6时，即计算原始信号在6kHz下的梯度值：

 

当m=7时，即计算原始信号在7kHz下的梯度值：

 

即8个梯度值计算完成：