/************************************* 求解x^a=b(mod c) x在[0,c-1]上解的个数模板 输入：1e9>=a,b>=1,1e9>=c>=3. 返回：调用xaeqbmodc(a,b,c),返回解的个数 复杂度: 找原根的复杂度很低，所以总的复杂度为O(c^0.5) ************************************/ typedef long long ll; #define HASH_N 100007 struct hashnode { int next; ll key; int j; }HashLink[ HASH_N ]; int hashpre[ HASH_N ],hashcnt; void hash_insert(ll x,ll key,int j) { for(int p=hashpre[x];p!=-1;p=HashLink[p].next) { if(HashLink[p].key==key) return ; } HashLink[ hashcnt ].key = key; HashLink[ hashcnt ].j = j; HashLink[ hashcnt ].next = hashpre[x]; hashpre[x] = hashcnt++; } int hash_get(ll key) { ll x=key%HASH_N; for(int p=hashpre[x];p!=-1;p=HashLink[p].next) { if( HashLink[p].key == key ) return HashLink[p].j; } return -1; } ll gcd(ll a,ll b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); } //ax + by = gcd(a,b) //传入固定值a,b.放回 d=gcd(a,b), x , y void extendgcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y) { if(b==0){d=a;x=1;y=0;return;} extendgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); } //Ax=1(mod M) //返回x的范围是[0,M-1] ll GetNi(ll A,ll M) { ll rex=0,rey=0; ll td=0; extendgcd(A,M,td,rex,rey); return (rex%M+M)%M; } //a^b%mod 快速幂 long long Quk_Mul(long long a,long long b,long long mod) { long long qsum=1; while(b) { if(b&1) qsum=(qsum*a)%mod; b>>=1; a=(a*a)%mod; } return qsum; } //测试x较小的情况，必须！ ll firsttest(ll A,ll B,ll C) { ll tmp=1; if(B==1) return 0; for(int i=1;i<100;i++) { tmp = (tmp*A)%C; if(tmp==B) return i; } return -1; } ll BabyStep(ll A,ll B,ll C,ll OC) { if(0==A || 0==C) return -1; if(C==1) return 0; B = B%C; ll ans = firsttest(A,B,C);//为了防止x比较小的时候 if(ans != -1) return ans; ll D=1; int c=0; ll d; while( (d=gcd(A,C)) != 1 ) { if( B%d !=0 ) return -1;//无解的情况 B /= d; C /= d; D = D*A/d%C; c++; } //得到了 D*A^(x-c)=B (mod C) ，gcd(A,C)=1 , gcd(D,C)=1 ll D_1=GetNi(D,C);//求D的逆元 B = B*D_1%C; //求A^x=B (mod C),然后返回x+c ll m = ceil( sqrt(C+0.0) ); memset(hashpre,-1,sizeof(hashpre)); hashcnt=0; ll hashnum=1; hash_insert(1, 1, 0); for(int i=1;i<m;i++) { hashnum = (hashnum*A)%C; hash_insert(hashnum%HASH_N, hashnum ,i); } ll ol=OC;//这一步可以省略 ll mA=Quk_Mul(A, m, C); ll ta=1; ll tmpni = Quk_Mul(mA, ol-1, C); for(int i=0;i<m;i++,ta=ta*tmpni%C) { //解线性同余方程 tx=B*ta (%C) ,ta直接用费马小定理求逆元 ll tx = ta; tx = (tx*B)%C; int j=hash_get(tx); if(j!=-1)//找到解了 { return i*m+j+c; } } return -1; } ll mypow(ll a,ll b) { ll sum=1; for(int i=1;i<=b;i++) sum*=a; return sum; } ll slove(ll a,ll b,ll c,ll p,int a1) { //第0种情况a==1 if(a==1) return 1; //第一种情况b==c b %= c; if(b==0) { ll tmp = mypow(p,ceil( (double)a1/a ) ); return c/tmp; } ll d=gcd(b,c); //第二种情况 gcd(b,c)!=1 if( d != 1 ) { return 0; } //第三种情况 gcd(b,c)==1 //第一步找出原根x0, ll save[55]; int cnt=0; ll tc = mypow(p,a1-1)*(p-1); for(ll i=2;i*i<=tc;i++) { if(tc%i == 0) { save[ cnt++ ] = i; while(tc%i==0) tc/=i; } } if(tc != 1) { save[ cnt++ ] = tc; } tc= mypow(p,a1-1)*(p-1); for(int i=0;i<cnt;i++) { save[i] = tc/save[i]; } ll x0=0; for(int i=2;i<c;i++) { int flag=0; for(int j=0;j<cnt;j++) { if( Quk_Mul(i, save[j], c) ==1) { flag=1; break; } } if(flag==0) { x0=i; break; } } //找到原根x0后,然后找x0^a0 = b (mod c) ll a0 = BabyStep(x0 , b, c,mypow(p,a1-1)*(p-1)); ll ord = mypow(p,a1-1)*(p-1); d = gcd(a,ord); if( a0%d != 0 ) return 0; return d; } ll xaeqbmodc(ll a,ll b,ll c) { ll ans=1; b%=c; ll tc=c; //然后对c进行因式分解 for(ll i=2;i*i<=tc;i++) { if(tc%i==0) { ll tmpyz=1; int a1=0; while(tc%i==0) { a1++; tmpyz *= i; tc/=i; } //然后对这个因子进行处理 ans *= slove(a,b,tmpyz,i,a1); if(ans==0) break; } } if(tc!=1) { ans *= slove(a,b,tc,tc,1); } return ans; }
其实这就是hdu3731了，关于思路可惜不是完全自己想的，稍微瞟了一眼大神的做法，突破了自己原先思维中不敢动c的想法，然后这题就会做了。这题A了也表示数论算是入了个门了，记得XIANBIN5在大一的时候就把数论学完了，并且把这题A了，我还是差太多啊。 接下来就是计算几何了。
以下来自: http://www.cnblogs.com/dyllove98/archive/2013/08/05/3239030.html
求方程：
分析：设
设同于方程的解分别是：
所以现在的关键问题是求方程：
这个方程我们需要分3类讨论：
第一种情况：
对于这种情况，如果方程的某个解设为
所以方程的解个数就是：
第二种情况：
这样也就是说p|B，设
那么我们设t=kA，
所以进一步有：
第三种情况：
那么我们要求指标；求指标的话又要求原根。并且奇素数p的原根也是p^a的原根，所以说求个p的原根就好了。
且如果有解，则解的个数为(A,φ(p^a))。
求指标的话就是要解决A^x ≡ B (mod p^a)的问题。由于本情况保证了(p^a, B)=1，用个Baby-step-Giant-step就
能解决问题。
方程x^A ≡ B (mod p^a)有解，当且仅当(A,φ(p^a))|ind B。ind B表示B对于p^a的任一原根的指标。