求逆元的一些方法总结

求逆元问题是数论中一类比较基础的题目，它常常会与组合数，质数等联系起来。今天我们就来总结一下求逆元的方法，根据数据范围不同有三种，接下来就一一介绍。

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方法1.通过扩展欧几里得算法求逆元

这个算法很常见，在这里就不再累述，直接给出代码。

int ex_gcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    int ret, tmp;
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ret = ex_gcd(b, a % b, x, y);
    tmp = x;
    x = y;
    y = tmp - a / b * y;
    return ret;
}

方法2.通过快速幂求逆元

由于费马小定理，a^(p-1)=1(mod p)-->1/a=a^(p-2)(mod p),故a的逆元为a^p-2.注意这个方法要求模的数必须为质数，传入a和mod-2即可得到结果。

LL quick_inverse(LL n, LL p) {
    LL ret = 1,exponent = p;
    for (LL i = exponent; i; i >>= 1, n = n * n % mod) {
        if (i & 1) {
            ret = ret * n % mod;
        }
    } 
    return ret;
}

方法3.通过递推求1~n的逆元

我们可以通过inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p递推得到逆元。适用于n比较小的情况

int inv[N];
void get_inverse(int n, int p) {
    inv[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p;
    }
}

特殊情况.通过递推求n!

我们可以利用invf[i]=invf[i+1]*(i+1)%p这个公式反递推得到1！~n!的逆元。

int invf[N], factor[N];
void get_factorial_inverse(int n, int p) {
    factor[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        factor[i] = i * factor[i - 1] % p;
    }
    invf[n] = quick_inverse(factor[n], p);
    for (int i = n-1; i >= 0; --i) {
        invf[i] = invf[i + 1] * (i + 1) % p;
    }
}

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本来想再写一篇组合数的，但肯定没有苟神讲得好，所以直接附上链接：组合数取模

感觉讲得不好，毕竟蒟蒻还不是很能理解里面的内涵，只是总结一下，等用到就不会很无措，大家多多包涵啦。

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