• 最长上升子序列



    题目网址: http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemshow.php?problem_id=21

    问题描述

    一个数的序列bi,当b1 < b2 < ... < bS的时候,我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN),我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK),这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如,对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8),有它的一些上升子序列,如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4,比如子序列(1, 3, 5, 8).

    你的任务,就是对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。

    解题思路

    如何把这个问题分解成子问题呢?经过分析,发现 “求以ak(k=1, 2, 3…N)为终点的最长上升子序列的长度”是个好的子问题――这里把一个上升子序列中最右边的那个数,称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样,但是只要这N个子问题都解决了,那么这N个子问题的解中,最大的那个就是整个问题的解。

    由上所述的子问题只和一个变量相关,就是数字的位置。因此序列中数的位置k 就是“状态”,而状态 k 对应的“值”,就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。这个问题的状态一共有N个。状态定义出来后,转移方程就不难想了。假定MaxLen (k)表示以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度,那么:

    MaxLen (1) = 1

    MaxLen (k) = Max { MaxLen (i):1<i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1

    这个状态转移方程的意思就是,MaxLen(k)的值,就是在ak左边,“终点”数值小于ak,且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列,加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

    实际实现的时候,可以不必编写递归函数,因为从 MaxLen(1)就能推算出MaxLen(2),有了MaxLen(1)和MaxLen(2)就能推算出MaxLen(3)……

    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <cstring>
    #include <cstdio>
    using namespace std;
    int a[1005];
    int len[1005];
    
    int main()
    {
        int n,t=1;
        for(int i=1;i<=9;i++)
        len[i]=1;
        while(cin>>n)
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            cin>>a[i];
            for(int i=2;i<=n;i++)
            {
                int maxn=0;
                for(int j=1;j<=i-1;j++)
                {
                    if(a[j]<a[i]&&len[j]>maxn)
                    maxn=len[j];
                }
                len[i]=maxn+1;
                if(len[i]>t) t=len[i];
            }
            cout<<t<<endl;
        }
        return 0;
    }
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