题目描述
X^A mod P = B,其中P为质数。给出P和A B,求< P的所有X。
例如:P = 11,A = 3,B = 5。
3^3 Mod 11 = 5
所有数据中,解的数量不超过Sqrt(P)。
分析
这道题包括几个知识点
离散对数(大步小步BSGS算法)
求关于x的同余方程(y^x equiv n pmod{P}(P为质数))的解,
设(m=lceil sqrt{n}
ceil,x=bm+r),我们预处理出(y^i(iin[0,P-1])),用map或hash储存起来
我们从小到大枚举b,就可以根据(y^{(b+1)m} cdot n^{-1} equiv y^{m-r}pmod{P}),在有序表中找到(y^{m-r})来的到指数r
N次剩余
求关于x的同余方程(x^y equiv n pmod{P}(P为质数))的解
设P的原根为g,因为(varphi(P)=P-1),根据原根的性质({1,2,3...P-1})一一与({g^1,g^2,g^3...g^{P-1}})对应
令(x=g^s,n=g^t)
通过BSGS,我们可以求出t,
于是(s cdot y equiv t pmod{P-1}),用扩展欧几里得解方程。
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <map>
#include <bitset>
#include <set>
#include <vector>
const int inf=2147483647;
const int mo=1e6+7;
const int N=100005;
using namespace std;
struct arr{
long long x,id;
bool operator<(const arr &b)const{
if (x == b.x) return id < b.id;
return x<b.x;
}
}E[100500];
int T;
long long sol[N],P,A,B,G,m,num,ans[N],d[N];
long long ksm(long long x,long long y)
{
long long s=1;
for(;y;y>>=1,x=x*x%P)
if(y&1) s=s*x%P;
return s;
}
bool check(int G)
{
int tmp=P-1;
for(int i=2;i*i<=tmp;i++)
{
if(tmp%i) continue;
if(ksm(G,i)==1 || ksm(G,tmp/i)==1) return false;
}
return true;
}
void pre()
{
for(G=2;!check(G);G++);
m=ceil(sqrt(P));
long long v=1;
for(int i=0;i<=m;i++)
{
arr tmp;
tmp.x=v,tmp.id=i;
E[i]=tmp;
v=v*G%P;
}
sort(E,E+m);
}
long long BSGS(long long y)
{
long long ny=ksm(y,P-2),sum=1,s=ksm(G,m);
for(int i=0;i<m;i++)
{
long long val=(sum=sum*s%P)*ny%P;
arr tmp;
tmp.x=val,tmp.id=-1;
long long pos=lower_bound(E,E+m+1,tmp)-E;
if(E[pos].x==val) return i*m+m-E[pos].id;
}
return 0;
}
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
long long r=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return r;
}
void residue(long long a,long long b,long long m)
{
int x=0,y=0,d=exgcd(a,m,x,y);
if(b%d) return;
num=d;
sol[0]=x*(b/d)%m;
for(int i=1;i<d;i++) sol[i]=(sol[i-1]+m/d)%m;
for(int i=0;i<d;i++) sol[i]=(sol[i]+m)%m;
}
void solve()
{
pre();
num=0,residue(A,BSGS(B),P-1);
if(!num) printf("No Solution
");
else
{
for(int i=0;i<num;i++) ans[i]=ksm(G,sol[i]);
sort(ans,ans+num);
for(int i=0;i<num;i++) printf("%lld ",ans[i]);
putchar('
');
}
}
int main()
{
for(scanf("%d",&T);T--;)
{
scanf("%lld%lld%lld",&P,&A,&B);
solve();
}
}