luogu LINK：驱逐猪猡
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问题是在1时刻有个炸蛋在1号点 这个炸弹有p/q的概率爆炸 如果没有爆炸 那么会有1/di的概率选择一条边跳到另外一个点上重复这个过程。
问炸弹在第i号点上爆炸的概率。
一个比较传统的在图上期望的题目。考虑每一秒都有p/q的概率爆炸 所以当秒数过大的时候我们可以忽略不记概率了。
但是这要求需要求出每一秒炸弹在某个点的概率。
设T矩阵当前时刻炸弹在某个点的概率 显然一开始T={1,0,0,...};
可以发现在第二秒的时候 设W矩阵为由i点到j点转移的概率。
T=T×W.在第二秒的时候 炸弹爆炸的概率s为(frac{p}{q}(1-frac{p}{q})) 那么此时在各点爆炸的概率为s×T.
综上 将答案矩阵ans写出来 (ans=frac{p}{q}cdot T+frac{p}{q}cdot Tcdot Wcdot (1-frac{p}{q})+frac{p}{q}cdot Tcdot W^2cdot (1-frac{p}{q})^2+...)
设 (W=Wcdot (1-frac{p}{q}))
(ans=frac{p}{q}cdot T+frac{p}{q}cdot Tcdot W+frac{p}{q}cdot Tcdot W^2+...)
可以发现把公因数提出来 然后广义矩阵等比数列求和。
(ans=frac{p}{q}cdot Tcdot frac{I-W^{infty}}{I-W})
可以直接将(W^{infty})给忽略掉 因为显然趋近于0.
((I-W)cdot ans=frac{p}{q}cdot T)
I为单位矩阵 W为已知矩阵 T为已知矩阵 差ans.
不难想到高斯消元.
坑点 列矩阵的时候 W得倒着列 因为考虑一下W的列相加为右边的T.并非行相加。
所以我们将行列互换一下才行。wa了半天...
const int MAXN=310;
int n,m;
int a[MAXN][MAXN],d[MAXN];
db p,q,b[MAXN][MAXN],f[MAXN];
inline void GAUSS()
{
rep(1,n,i)
{
int p=i;
rep(i+1,n,j)if(fabs(b[j][i])>fabs(b[p][i]))p=j;
if(p!=i){rep(1,n,j)swap(b[p][j],b[i][j]);swap(f[p],f[i]);}
rep(1,n,j)
{
if(i==j)continue;
db d=b[j][i]/b[i][i];
rep(1,n,k)b[j][k]-=b[i][k]*d;
f[j]-=f[i]*d;
}
}
rep(1,n,i)f[i]=f[i]/b[i][i];
}
int main()
{
freopen("1.in","r",stdin);
get(n);get(m);p=read();q=read();
rep(1,m,i)
{
int get(x);int get(y);
a[y][x]=a[x][y]=1;++d[x];++d[y];
}
rep(1,n,i)
{
rep(1,n,j)
{
if(i==j)b[i][j]=1;
else if(a[i][j])b[i][j]=-(1.0/d[j])*(1.0-p/q);
}
}
f[1]=p/q;GAUSS();
rep(1,n,i)printf("%.9lf
",f[i]);
return 0;
}