矩阵的特征值和特征向量

矩阵的特征值和特征向量

定义

对于(n)阶方阵(A)，若存在非零列向量(x)和数(lambda)满足(Ax=lambda x)，则称(lambda)和(x)为一组对应的特征值和特征向量

在确定了特征值之后，可以得到对应(x)的无穷多个解

求解特征值和特征向量：

容易发现，(lambda)是一个特征值，只需要满足(Ax=lambda x)有解，以(x)为元容易列出方程，其常数项为均0，系数矩阵为

(egin{bmatrix}array{lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& cdots & -A_{1,n}\ -A_{2,1}&lambda- A_{2,2} & -A_{2,3}& cdots & -A_{2,n}\ -A_{3,1} & -A_{3,2} & lambda-A_{3,3} & cdots & -A_{3,n}\ vdots& vdots &vdots &vdots &vdots \ -A_{n,1} & -A_{n,2} & -A_{n,3} &cdots & lambda-A_{n,n}}end{bmatrix}=lambda I-A)

其中(I)是单位矩阵

这个方程有非零解的充要条件是：(|lambda I-A|=0) （因为如果不为0，则矩阵满秩，所有向量线性无关，无法得到0向量）

而(|lambda I-A|)是一个(n)次多项式(p(lambda))，称为特征多项式，所有的特征值(lambda)就是(p(lambda))的根

应用

加速矩阵乘法：

由(Ax=lambda x)，迭代该式可以得到(A^nx=lambda^nx)

特殊矩阵的特征值

上三角矩阵

(lambda I-A=egin{bmatrix}array{lambda-A_{1,1}& -A_{1,2}& -A_{1,3}& cdots & -A_{1,n}\ 0 & lambda-A_{2,2} & -A_{2,3}& cdots & -A_{2,n}\ 0 & 0 & lambda-A_{3,3} & cdots &-A_{3,n}\ vdots& vdots &vdots &vdots &vdots \ 0 & 0 & 0 &cdots & lambda-A_{n,n}}end{bmatrix})

带入行列式即可知道(displaystyle |lambda I-A|=prod (lambda -A_{i,i}))

也就是说，主对角线上所有的(A_{i,i})都是(|lambda I-A|=0)的根

特征多项式的应用

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