• CF1491G


    CF1491G - Switch and Flip

    题目大意

    (n)个硬币,编号(1-n),第(i)个位置上当前放了编号(a_i)的硬币

    每次交换((a_i,a_j)i e j),且将硬币(a_i,a_j)翻转

    求方案使得最终使得(a_i=i)且每个硬币恰好为原先方向

    (nge 3),方案步数(leq n+1)


    分析

    显然要先对于(a_i)求出置换环,步数(leq n+1)说明

    1.general的情况可以用(n)步解决(n)个点

    2.存在至多一个特殊情况要(n+1)

    手玩发现我们无法(n)步解决一个大小为(n)的环

    但是如果环上恰好已经有两个硬币被翻过,那么可以

    QQ截图20210511180918.png

    图上点表示硬币编号,箭头所指是这个硬币应该在的位置

    我们从一个已经翻转的点开始,不断交换(i,a_i)上的硬币,会将(a_i)移动到到应该在的位置上

    同时下一个位置被翻转

    不断进行这个操作,直到这个点消去了半边环,遇到了下一个点也是被翻过的点

    此时再从下一个点开始将环的另外半边消去


    那么考虑如何让一个环有两个已经翻转的点

    假设提取出了(c)个环,我们可以先尽量成对匹配两个环

    通过一次跨过环的交换操作合并两个大小(x,y)的环,同时生成两个翻转点

    然后进项上面的操作,需要(x+y-1)次,恰好一共(x+y)


    那么对于最后剩下的一个环

    1.如果前面已经有环被匹配过

    那么随便选择一个当前(a_i=i)的自环与其合并即可


    2.整个图为一个大环

    先通过交换(1,a_1)(a_1)弹出,然后(a_1)再和环上另外一个元素交换

    此时(a_1)变成未翻转状态,环又并成一个环+2个翻转点

    const int N=2e5+10,INF=1e9+10;
    
    int n;
    int a[N],vis[N],b[N],c;
    
    int X[N],Y[N],C,col[N];
    void Swap(int x,int y){
    	X[++C]=x,Y[C]=y;
    	swap(a[x],a[y]),col[a[x]]^=1,col[a[y]]^=1;
    }
    void Solve(int i){ 
    	while(!col[a[i]]) i=a[i];
    	while(!col[a[a[i]]]) Swap(i,a[i]);
    	i=a[i];
    	while(i!=a[i]) Swap(i,a[i]);
    }
    
    int main(){
    	n=rd();
    	rep(i,1,n) a[i]=rd();
    	rep(i,1,n) if(!vis[i]) {
    		for(int j=i;!vis[j];j=a[j]) vis[j]=1;
    		b[++c]=i;
    	}
    	for(int i=1;i<c;i+=2) {
    		Swap(b[i],b[i+1]);
    		Solve(b[i]);
    	}
    	if(c&1) {
    		if(c==1) {
    			int t=a[1];
    			Swap(1,a[1]),Swap(t,a[1]);
    			Solve(i);
    		} else {
    			rep(i,1,n) if(a[i]==i) {
    				Swap(i,b[c]);
    				Solve(i);
    				break;
    			}
    		}
    	}
    	printf("%d
    ",C);
    	rep(i,1,C) printf("%d %d
    ",X[i],Y[i]);
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/chasedeath/p/14756730.html
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