CF1491G - Switch and Flip
题目大意
有(n)个硬币,编号(1-n),第(i)个位置上当前放了编号(a_i)的硬币
每次交换((a_i,a_j)i e j),且将硬币(a_i,a_j)翻转
求方案使得最终使得(a_i=i)且每个硬币恰好为原先方向
(nge 3),方案步数(leq n+1)
分析
显然要先对于(a_i)求出置换环,步数(leq n+1)说明
1.general的情况可以用(n)步解决(n)个点
2.存在至多一个特殊情况要(n+1)步
手玩发现我们无法(n)步解决一个大小为(n)的环
但是如果环上恰好已经有两个硬币被翻过,那么可以
图上点表示硬币编号,箭头所指是这个硬币应该在的位置
我们从一个已经翻转的点开始,不断交换(i,a_i)上的硬币,会将(a_i)移动到到应该在的位置上
同时下一个位置被翻转
不断进行这个操作,直到这个点消去了半边环,遇到了下一个点也是被翻过的点
此时再从下一个点开始将环的另外半边消去
那么考虑如何让一个环有两个已经翻转的点
假设提取出了(c)个环,我们可以先尽量成对匹配两个环
通过一次跨过环的交换操作合并两个大小(x,y)的环,同时生成两个翻转点
然后进项上面的操作,需要(x+y-1)次,恰好一共(x+y)次
那么对于最后剩下的一个环
1.如果前面已经有环被匹配过
那么随便选择一个当前(a_i=i)的自环与其合并即可
2.整个图为一个大环
先通过交换(1,a_1)将(a_1)弹出,然后(a_1)再和环上另外一个元素交换
此时(a_1)变成未翻转状态,环又并成一个环+2个翻转点
const int N=2e5+10,INF=1e9+10;
int n;
int a[N],vis[N],b[N],c;
int X[N],Y[N],C,col[N];
void Swap(int x,int y){
X[++C]=x,Y[C]=y;
swap(a[x],a[y]),col[a[x]]^=1,col[a[y]]^=1;
}
void Solve(int i){
while(!col[a[i]]) i=a[i];
while(!col[a[a[i]]]) Swap(i,a[i]);
i=a[i];
while(i!=a[i]) Swap(i,a[i]);
}
int main(){
n=rd();
rep(i,1,n) a[i]=rd();
rep(i,1,n) if(!vis[i]) {
for(int j=i;!vis[j];j=a[j]) vis[j]=1;
b[++c]=i;
}
for(int i=1;i<c;i+=2) {
Swap(b[i],b[i+1]);
Solve(b[i]);
}
if(c&1) {
if(c==1) {
int t=a[1];
Swap(1,a[1]),Swap(t,a[1]);
Solve(i);
} else {
rep(i,1,n) if(a[i]==i) {
Swap(i,b[c]);
Solve(i);
break;
}
}
}
printf("%d
",C);
rep(i,1,C) printf("%d %d
",X[i],Y[i]);
}