Johnson算法
请不要轻易点击标题
一个适用于求可含负边权的稀疏图的多源最短路算法
时间复杂度\(O(n \cdot m \cdot log \ m+n \cdot m)\)
空间复杂度\(O(n+m)\)
该算法综合利用了Dijkstra算法和Bellman-Ford算法(不要慌,虽然有负边但Dijkstra可以跑!)
在开始讲解之前，我们将其与floyd算法进行比较
\(\text{floyd}\)算法
时间复杂度\(O(n^3+m)\)
空间复杂度\(O(n^2)\)
可以看出，\(\text{floyd}\)复杂度与\(m\)无关 , 适用于稠密图的最短路，而\(Johnson\)算法则是适用于稀疏图最短路
我对该算法的理解
\(Johnson\)算法
限制条件:没有负环即可
在有负权边的图上，\(Dijkstra\)的转移受到限制，我们需要进行一定处理
核心 : 将边权\(reweight\)，保证边权非负后，即可跑\(n\)遍\(Dijkstra\),复杂度稳定\(n \cdot m \cdot log \ m\)(相较于SPFA来说稳定很多)
Reweight过程
1.建立超级源点0号节点，向\(1 - n\)号节点建立边权为0的有向边
2.利用Bellman-Ford(或SPFA)求得\(dis[0][1..n]\)
3.将边\((u,v,w)\)的边权\(w\)加上\(dis[0][u]-dis[0][v]\)，使得边权非负
4.在非负边权的图上，使用\(n\)次堆优化Dijkstra求得最短路
5.将\(dis[u][v]\)加上\(dis[0][v]-dis[0][u]\)还原
关于Reweight的正确性
1.边权非负性：根据三角不等式\(dis[v]\leq dis[u]+w\),移项得到\(w+dis[u]-dis[v] \ge 0\),故Reweight后边权非负
2.最短路的保留：对于一条最短路\(\lbrace p_1,p_2,..,p_k\rbrace\),Reweight后更改的权值即\(dis[p1]-dis[p2]+dis[p2]-dis[p3]...-dis[p_k]\)
即\(dis[0][v]-dis[0][u]\)，两点间最短路只会有常数修改，因此对于任意两点保留了最短路
所以我们可以直接用这个算法解决一些特殊的问题
当然这个也被应用于优化费用流，即Dijkstra费用流