怎样理解傅立叶变换和卷积
傅立叶变换
先看连续和离散系统的公式：
[F(w)=int^{+infty}_{-infty} f(t)e^{-iwt}dt=int^{+infty}_{-infty} f(t)(cos wt-isin wt)dt ag{1}
]
[F(w)=sum^{+infty}_{t=-infty}f(t)(cos wt-isin wt) ag{2}
]
其中利用了欧拉公式：$$e^{iwt}=cos wt+i sin wt$$
看最简单的(f(t)=1,-1leq tleq 1)，得到
[F(w)=int_{-1}^{1}(cos wt-isin wt)dt=frac{1}{w}[sin wt+icos wt]|_{-1}^{1}=frac{2}{w}sin w ag{3}
]
也就是说，其频谱为(F(w)=frac{2}{w}sin w)，幅度为(|F(w)|=|frac{2}{w}sin w|)。
意思就是如下图，原图源自韩昊：
一维卷积
还是先是公式：
[(f*h)(t)=int^{t}_{-infty}f( au)h(t- au)d au ag{4}
]
什么意思呢？其中(h(t))是系统对单位冲激函数(delta(t=0))的响应，该响应将持续对系统的输出做出贡献。如图。
在(t=0)时刻，冲激函数的幅值为(f(0))，那么系统对它的响应就是(f(0)h(t))，该响应在时刻(t)的值为：
[s(t)=f(0)h(t)
]
事实上，在(t)时刻之前的任一时刻( au)，系统中均有输入(f( au))，对应的冲激响应为(f( au)h(t- au))，那么对(t)时刻之前的所有时刻( au)进行积分，得到式((4))。如图：
图解法求卷积
对函数(g)依次做反褶，平移t，计算在不同(t)下，两个函数曲线所围的面积(下图中如果f(0)=2呢，是否还是面积?所以有系数的哈，这个只能确认积分区间)。
卷积的计算机算法
计算卷积的算法是"不进位乘法"，如下图所示(计算机编程的算法，与上述图解法一样的)：
二维卷积
与一维卷积的滑窗类似，二维卷积也用滑窗进行计算。广泛用在图像处理领域。
以下内容转自CSDN博客
算法：对矩阵A,B进行卷积：conv2(A,B)，其中A为图像矩阵，B为卷积核。
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对矩阵A补零。如图。
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将卷积核B分别沿行方向和列方向进行反褶(相当于沿中心旋转180°)。如图。
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滑动滑窗，将卷积核的中心位于图像矩阵的每个元素，求滑窗内两矩阵点积(按元素乘)之和。如图。
在图像处理中，卷积常用于对图像模糊处理，边缘检测，产生轧花效果等。
在深度学习中，卷积在卷积网络中发挥作用。