Dijkstra,floyd,spfa三种最短路的区别和使用

这里不列举三种算法的实现细节，只是简单描述下思想，分析下异同

一 Dijkstra

Dijkstra算法可以解决无负权图的最短路径问题，只能应付单源起点的情况，算法要求两个集合，开始所有点在第二个集合，然后将起点加入第一个集合，接着第二个集合剩下的点哪个离起点距离最小，就加入第一个集合，并对其相关的边进行松弛，如此循环直到所有点都进入集合。每个点都加进集合需要循环n次，每个点进入集合又要对不在集合的点距离进行更新，内层又要循环n次。开始将map全部初始化为INF（一个很大的数），这样松弛的时候比较轻松

①复杂度：O(V^2 + E)

一般用邻接矩阵表示图，这种情况下是比较普遍的情况，因为要循环每个点，每个点又要找最小值，复杂度还是挺高的。

②邻接表+优先队列优化后复杂度：O((V + E)lgV)

使用了STL中的优先队列

typedef pair<int,int> PII;
priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > q;
...
while(!q.empty()){  // O(V) 加上count<n可以优化一点点 
    int w=q.top().first, u=q.top().second;
    q.pop();   // O(lgV)
    if(b[u])continue; b[u]=true;
    //++count;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){ // Sum -> O(E)
        int v=e[i].to;
        if(d[u]+e[i].w<d[v]){
            d[v]=d[u]+e[i].w;
            q.push(PII(d[v],v));  // O(lgV)
        }
    }
}

Dijkstra+heap是用小根堆，每次取出d最小的点，来更新距离，那么这个点来说，最小距离就是当前的d。

稠密图中，Dijkstra+heap优化比较快

③记录路径

记录路径是通过一个pre[]数组记录前驱的节点，初始化的时候需要注意，与s直接相连的点i要初始化为pre[i] = s，即使与s直接相连的边不一定是i的最短路径

void dijkstra(int s, int e)  
{  
    int Min, next;  
    for(int i = 1; i <= n; i++)  
    {  
        dist[i] = Map[s][i];  
        vis[i] = false;  
        pre[i] = dist[i]!=INF&&i!=s ? s : -1;//初始化要注意   
    }   
    vis[s] = true;  
    for(int i = 2; i <= n; i++)  
    {  
        Min = INF;  
        for(int j = 1; j <= n; j++)  
        {  
            if(!vis[j] && dist[j] < Min)  
            {  
                Min = dist[j];  
                next = j;  
            }  
        }   
        vis[next] = true;  
        for(int j = 1; j <= n; j++)  
        {  
            if(!vis[j] && dist[j] > dist[next] + Map[next][j])  
            {  
                dist[j] = dist[next] + Map[next][j];  
                pre[j] = next;//记录   
            }  
        }  
    }  
} 

二 Floyd

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N³)，空间复杂度为O(N²)。

基本思路就是假设图有n个点到n个点的距离共n^2段距离（如果是完全图），又分别用n个点松弛它，所以为n^3

Floyd算法的好处是可以计算任意两点间的最短距离，若遇到需要对多个起点终点找最短路径的题目就适合使用Floyd算法。

需要学习的是Floyd记录路径的方法

path[i][j]记录的是i到j的最短路的下一个点，比如i--k--j是i到j的最短路，则path[i][j] = k; path[k][j] = j

需要注意的是path的初始化。

  for(int i = 1; i <= n; i++)  
        for(int j = 1; j <= n; j++)  
            pre[i][j] = j;            //初始化   

for( int k = 1; k <= N; k++ )
    for( int i = 1; i <= N; i++ )
        for( int j = 1; j <= N; j++ )
        {
            //////处理最短路图map///////
            pre[i][j] = pre[i][k];//记录    
        }   

三 spfa（Shortest Path Faster Algorithm）

spfa是求单源最短路的一种算法，他是再Bellman-Ford算法的基础上加入了队列queue优化，spfa和Dijkstra很像，但spfa可以处理带负权边的图（但是不能有负权环，即围成环的各边权值加起来不能为负）

基本思路是建立一个队列，

①复杂度：？？

证明比较复杂，因为每个点不一定只入队列一次，

网上流传的期望时间复杂度为O(me)， 其中m为所有顶点进队的平均次数，"可以证明m一般小于等于2n：“算法编程后实际运算情况表明m一般没有超过2n.事实上顶点入队次数m是一个不容易事先分析出来的数,但它确是一个随图的不同而略有不同的常数.所谓常数,就是与e无关,与n也无关,仅与边的权值分布有关.一旦图确定,权值确定,原点确定,m就是一个确定的常数.所以SPFA算法复杂度为O(e).证毕."（SPFA的论文）不过，这个证明是非常不严谨甚至错误的，事实上在bellman算法的论文中已有这方面的内容，所以国际上一般不承认SPFA算法。

SPFA算法有两个优化策略SLF和LLL

SLF：Small Label First 策略，设要加入的节点是j，队首元素为i，若dist(j)<dist(i)，则将j插入队首，否则插入队尾；

LLL：Large Label Last 策略，设队首元素为i，队列中所有dist值的平均值为x，若dist(i)>x则将i插入到队尾，查找下一元素，直到找到某一i使得dist(i)<=x，则将i出队进行松弛操作。

SLF 可使速度提高 15 ~ 20%；SLF + LLL 可提高约 50%。

在实际的应用中SPFA的算法时间效率不是很稳定，为了避免最坏情况的出现，通常使用效率更加稳定的Dijkstra

②记录路径

思路与Dijkstra相似，参考Dij的算法。

③（据说稀疏图spfa比较快）