题目：写一个函数，输入n，求斐波那契（Fibonacci）数列的第n项。 |
斐波那契（Fibonacci）数列定义如下：
效率很低的解法：
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
|
long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n){ if(n <= 0) return 0; if(n == 1) return 1; return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);} |
改进的算法：从下往上计算。首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，再根据f(1)和f(2)算出f(3)。。。。。依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是o(n)。实现代码如下：
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
|
long long Fibonacci(unsigned n){ int result[2] = {0 , 1}; if(n < 2) return result[n]; long long fibMinusOne = 1; long long fibMinusTwo = 0; for(unsigned int i = 2 ; i <= n ; ++i) { fibN = fibMinusOne + fibMinusTwo; fibMinusTwo = fibMinusOne; fibMinusOne = fibN; } return fibN;} |
题目：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。 |
可以把n级台阶时的跳法看成是n的函数，记为f(n)。当n>2时，第一次跳的时候就有两种不同的选择：一是第一次只跳1级，此时跳法数目等于后面剩下的n-1级台阶的跳法数目，即为f(n-1);另一种选择是第一次跳2级，此时跳法数目等于后面剩下n-2级台阶的跳法数目，即为f(n-2)。因此，n级台阶的不同跳法的总数f(n)=f(n-1)+f(n-2)。分析到这里，不难看出这实际上就是斐波那契数列了。
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
|
#include<iostream>using namespace std; long Fibonacci_Solution1(unsigned int n){ if(n <= 0) return 0; if(n == 1) return 1; return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);}int main(){ int n; cin>>n; cout<<Fibonacci_Solution1(n)<<endl; return 0;} |
在青蛙跳台阶的问题中，如果把条件改成：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。。。。。它也可以跳上n级，此时该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法？
用数学归纳法可以证明f(n)=2n-1.