今天的文件夹：10月20日.zip
今天是搜索题专练。
T1:这题用搜索找规律可以，AC就别想了。搜索起来，每次枚举两种操作（push和pop），判断是否合法，递归$2n$次后比较出栈序列并统计总数。当然，对于极限数据这是不能通过的（一共要递归$2n$层，总的时间复杂度为$O(2^{2n})$），因此要用数学方法。
经过数学上的推导（详情百度，这里给大家一个链接和百度百科），结果应该是第$n$个Catalan数，即
[h(n)=sum_{i=1}^{n-1}h(i)*h(n-i)=h(n-1)*frac{4n-2}{n+1}=frac{C_{2n}^{n}}{n+1}]
其中$h(0)=h(1)=1$。
计算输出即可，注意数据不要爆了int64。
T2~T9晚上再填。。。
T10:对于不能的情况，方法很简单。我们对所有的临近湖泊的点做一次BFS，看能到达临近沙漠的哪些点，最后统计输出即可。而对于能实现的情况，我们也可以用这种方法，统计出每个临近湖泊的点如果修建蓄水池的话，可以到达的所有点。
现在，我们有了这些数据，要求出覆盖所有临近沙漠的点时，最少要修建的蓄水池个数。这看起来很像一个集合覆盖问题，然而这个问题貌似是NP难的，不可能实现这样的规模。这告诉我们，这道题一定存在一些特殊性，只是还没有被利用。
考虑样例2，我们发现，对每个最上面的点（记为$a[1,i]$），可以到达最后一行的点（记为$a[n,j]$）的集合，总能构成一条连续线段。例如，$a[1,1]$可以到达$a[n,1],a[n,2]$，$a[1,3]$可以到达$a[n,2],a[n,3],a[n,4]$等等。这条规律是否普遍成立，还要证明：
定理：在能满足要求，即每一个点$a[n,j](1 leq i leq m)$都可到达的情况下，对任意点$a[1,i](1 leq i leq m)$，它可以到达的最后一行的点总是连续的一段。
证明：采用反证法，假设存在一个点（或一个区间），它左右两侧均可由同一点到达，而这个点不能。
因为所有点都能被到达，所以必有一个最上方的点可以到达这个点，这两点间的路径（记为$p$）肯定与$a[1,i]$到左右两侧的两个点的两条路径中的至少一条相交（可以分情况证明），那么我们在交点处，令$a[1,i]$出发的路径沿着$p$行进，可以到达$a[n,j]$而不违反任何规则。这就推出了此点可以由$a[1,i]$到达，发生矛盾。
综上，定理得证。因此，这些集合可以看做$m$条线段，要让它们覆盖另一条线段。这不就是经典的线段覆盖模型吗？我们令$s[i],t[i]$分别表示第$i$条线段的起点、终点，$ans[i]$表示线段$1..i$至少需要多少条线段来覆盖，那么
[ans[i]=min{ans[i],ans[s[j]-1]},s[j] leq i leq t[j],i geq 2]