• 为什么离散傅里叶变换中谐波信号数目是有限的?


          最近在看《信号与系统》,连续傅里叶级数和离散傅里叶级数中,离散傅里叶级数的谐波信号种类是有限的,而连续时间信号的傅里叶级数的谐波信号就有无数个,这个让我很不解。

          后来经过公式推导,确实是如此,但还是没有直观理解,因此用matlab画了个图,醍醐灌顶。

    ----------------------------------------------------我假设你学过信号与系统,或者线性系统分析,否则别往下看------------------------------------------

    周期为T的连续时间信号x(t)的傅里叶级数表示:

                    

    它说明,任意一个周期函数(其实非周期函数也可以,不然傅里叶变换就没有意义了)可以用一组简单的复指数函数线性叠加来表示。

    其中:这就是一族频率不同的复指数函数,k=1,2,3,......   有无数个

    好了,同样的,周期为N的离散时间序列x(n)也可以用傅里叶级数表示:

                    

    n只能取0,1,2,3....等一些离散的整数点,因此是离散序列。

    同样,是一族离散的复指数序列。k=1,2,3,4.....看似有无数个

    对离散傅里叶级数来说,复指数序列看起来有无数个,其实只有N个,因为第N个和第N+1个是相同的。

    证明如下:

            

      从式子上很明显,第k个复指数序列和第N+k个是相等的。因此,离散周期函数的傅里叶级数只有N个频率成分(每个复指数函数代表一个频率分量,信号中有学)。而连续时间信号就没有这个性质,它的频率分量有无数个。

         那么,为什么呢?虽然式子上是这样的,但是没有直观上明白。于是用matlab做了个仿真,结果如下:

    明白了吗,原因是这样子的:
          连续傅里叶变换的第1个和第1+T个频率分量的图是完全不一样的,因为频率不一样。

          但是,他们在整数点上的采样(也就是对应的离散傅里叶变换的频率分量),是相同的,这也就是为什么离散傅里叶变换第1个和第N+1个频率成分完全相同的原因了。连续函数的图像不同,但是在整数点上的采样,是相同的。

    好了,公式编辑不易,截图不易,转载请注明。

    如有错误敬请提出。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/cezorzhao/p/2974170.html
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