gcd模板（欧几里得与扩展欧几里得、拓展欧几里得求逆元）

gcd（欧几里得算法辗转相除法）：

gcd （ a ， b ）= d ；

即 d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；以此式进行递归即可。

之前一直愚蠢地以为辗转相除法输进去时 a 要大于 b ，现在发现事实上如果 a 小于 b，那第一次就会先交换 a 与 b。

#include<stdio.h>
#define ll long long 

ll gcd(ll a,ll b){
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int main(){
    ll a,b;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        printf("%lld
",gcd(a,b));
    //    printf("%lld
",a>b?gcd(a,b):gcd(b,a));
    }
    return 0;
}

在原基础上改成循环之后的GCD：

ll gcd(ll a,ll b){
    for(;a>0&&b>0;a>b?a%=b:b%=a);
    return a+b;
}

这个代码是针对非负数范围的，但除此之外我还纠结了很久，在非负数的范围内（long long内）与普通递归的gcd对拍并没有发现问题，一直做题的时候也没有发现有什么问题，但是刷到一题UVA10325，经测试数据中没有给0或负数，但是用这个WA用递归版的AC，并不知道为什么。

所以……还是库函数/递归保平安吧

 

拓展欧几里得：

当 gcd （ a ， b ）= d 时，求绝对值和最小的 x ， y 使得 x * a + y * b = d ；

d = gcd （ a ， b ） = gcd （ b ， a mod b ）；

设：

x1 * a + y1 * b = d ；　　　　　　　　①

x2 * b + y2 * （ a mod b ） = d ；　　 ②

因为 a mod b = a - （ a / b ）* b；　　③（除法为整除）

将③代入①整理得：

y2 * a + （ x2 - （ a / b ） * y2 ） * b = d；　④

由①和④整理得：

x1 = y2 ；

y1 = x2 - （ a / b ） * y2；

将此结论代入递归函数既得。

#include<stdio.h>
#define ll long long

void gcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
    if(!b){d=a;x=1;y=0;}
    else {gcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);}
}

int main(){
    ll a,b,d,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        gcd(a,b,d,x,y);
        printf("%lld*%lld+%lld*%lld=%lld
",a,x,b,y,d);
    }
    return 0;
}

 

拓展欧几里得求逆元：

当 a 与 b 互素时有 gcd （ a ， b ） = 1 ；

即得： a * x + b * y = 1；

a * x ≡ 1 （ mod b ）；

由于 a 与 b 互素，同余式两边可以同除 a ，得：

1 * x ≡ 1 / a （mod b）；

因此 x 是 a mod b 的逆元；

递归方法计算：

#include<stdio.h>
#define ll long long

ll gcd(ll a,ll b,ll &d,ll& x,ll& y){
    if(!b){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
        return x;
    }
    else{
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
    return x;
}

int main(){
    ll a,b,d,x,y;
    while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
        x=gcd(a,b,d,x,y);
        printf("a:%lld->x:%lld
",a,x);
//        printf("a:%lld->x:%lld
b:%lld->y:%lld
",a,x,b,y);
    }
    return 0;
}

循环方法计算：

#include<stdio.h>

int main(){
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
        int x=1,y=0,t;

        {
            if(a!=1&&b!=1){
                int b0=b,q;
                while(a>1){
                    q=a/b0;
                    t=b0;b0=a%b0;a=t;
                    t=y;y=x-q*y;x=t;
                }
                if(x<0)x+=b;
            }
        }

        printf("a:%d->x:%d
",a,x);
    }
    return 0;
}

ll gcd(ll a,ll b){
    if(a!=1&&b!=1){
        int b0=b,q,t,x=1,y=0;
        while(a>1){
            q=a/b0;
            t=b0;b0=a%b0;a=t;
            t=y;y=x-q*y;x=t;
        }
        if(x<0)x+=b;
    }
    return x;
}