问题：实证分析中，经常需要对比分析两个子样本组的系数是否存在差异。
例如，在公司金融领域，研究薪酬激励是否有助于提升业绩时，模型设定为：
关注的重点是系数 。
我们经常把样本组分成“国有企业(SOE)”和“民营企业(PRI)”两个样本组，继而比较 和
是否存在差异。通常认为，民营企业的薪酬激励更有效果，即
。
如果两个样本组中的模型设定是相同的，则两组之间的系数大小是可以比较的，而且这种比较在多数实证分析中都是非常必要的。
下面我们介绍三种检验组间系数差异的方法：
1. 引入交叉项（Chow 检验）
2. 基于似无相关模型的检验方法 (suest)
3. 费舍尔组合检验（Permutation test）
方法 1: 引入交叉项
这是文献中最常用的方法，执行起来也最简单。以检验 ttl_exp 在两组之间的系数是否存在显著差异为例。引入一个虚拟变量 ，若某个妇女是黑人，则
，否则
。在如下命令中，black 变量即为这里的
。模型设定为：
这是最基本的包含虚拟变量，以及虚拟变量与一个连续变量交乘项的情形。
显然，对于白人组而言， ，则 (1) 式可以写为：
对于黑人组， (1) 式可以写为：
参数 和
分别反映了黑人组相对于白人组的截距和斜率差异。我们关注的是参数
，它反映了 ttl_exp 这个变量在两个样本组中的系数差异。因此，检验 ttl_exp 在两组之间的系数是否存在显著差异就转变为
。相应的估计命令如下：
dropvars ttl_x_black marr_x_black global xx "ttl_exp married south hours tenure age* i.industry" //Controls gen ttl_x_black = ttl_exp*black //交乘项 reg wage black ttl_x_black $xx //全样本回归+交乘
交乘项 [ttl_x_black] 的系数为 -.01818, 对应的 p-value 为 0.756，表明 [ttl_exp] 的系数在两组之间并不存在显著差异。
我们也可以不事先生成交乘项，而直接采用 stata 的因子变量表达式，得到完全相同的结果：
reg wage i.black##c.ttl_exp $xx 然而，需要特别强调的是，在上述检验过程中，我们无意识中施加了一个非常严格的假设条件：只允许变量 [ttl_exp] 的系数在两组之间存在差异，而其他控制变量(如 married, south, hours 等) 的系数则不随组别发生变化。
这显然是一个非常严格的假设。因为，从 -Table 1- 的结果来看, married， south, hours 等变量在两组之间的差异都比较明显。
为此，我们放松上述假设，允许所有的变量在两组之间都存在系数差异（注意：所有离散变量前都要加 i. 前缀，否则将被视为连续变量进行处理（对于取值为0/1的虚拟变量，可以省略前缀 i.）；连续变量则需加 c. 前缀）：
global xx "c.ttl_exp married south c.hours c.tenure c.(age*) i.industry"
reg wage i.black##($xx) 方法 2: SUEST (基于似无相关模型SUR的检验)
顾名思义，所谓的似无相关模型（seemingly unrelated regression）其实就是表面上看起来没有关系，但实质上有关系的两个模型。这听起来有点匪夷所思。这种“实质上”的关系其实是假设白人组和黑人组的干扰项彼此相关。为了表述方便，将白人和黑人组的模型简写如下：
若假设 ，则我们可以分别对白人组和黑人组进行 OLS 估计。
然而，虽然白人和黑人种族不同，但所处的社会和法律环境，面临的劳动法规都有诸多相似之处，使得二者的干扰项可能相关，即 。此时，对两个样本组执行联合估计（GLS）会更有效率（详见 Greene (2012, Econometric analysis, 7th ed, 292–304)）。
执行完 SUR 估计后，我们就可以对两组之间的系数差异进行检验了。
从上面的原理介绍，可以看出，基于 SUR 估计进行组间系数差异检验时，假设条件比第一种方法要宽松一些：
1. 其一，在估计过程中，并未预先限定白人组和黑人组各个变量的系数一定要相同，因此在 (2) 式中，我们分别用 和
表示白人组和黑人组各个变量的系数向量；
2. 其二，两个组的干扰项可以有不同的分布，即 可以不同，即 ,
，且允许二者的干扰项相关，
。
stata 中执行上述检验的步骤为：
Step 1: 分别针对白人组和黑人组进行估计（不限于OLS估计，可以执行 Logit, Tobit 等估计），存储估计结果；
Step 2：使用 suest 命令执行 SUR 估计；
Step 3: 使用 test 命令检验组间系数差异。
*-Step1: 分别针对两个样本组执行估计 reg wage $xx if black==0 est store w //white reg wage $xx if black==1 est store b //black *-Step 2: SUR suest w b *-Step 3: 检验系数差异 test [w_mean]ttl_exp = [b_mean]ttl_exp test [w_mean]married = [b_mean]married test [w_mean]south = [b_mean]south
对上述命令和结果的简要解释如下：
1. 白人组和黑人组的估计结果分别存储于 w 和 b 两个临时性文件中；
2. 执行 - suest w b - 命令时，白人组和黑人组的被视为两个方程，即文的 (2a) 和 (2b) 式。Stata 会自动将两个方程对应的样本联合起来，采用 GLS 执行似无相关估计（SUR）；
3. 由于 SUR 属于多方程模型，因此需要指定每个方程的名称，在下面呈现的回归结果中，[w_mean] 和 [b_mean] 分别是白人组和黑人组各自对应的方程名称。因此，[w_mean]ttl_exp 表示白人组方程中 ttl_exp 变量的系数，而 [b_mean]ttl_exp 则表示黑人组中 ttl_exp 变量的系数。
使用biff命令
上述过程可以使用我编写的 - bdiff - 命令非常快捷的加以实现，结果的输出方式也更为清晰（在 stata 命令窗口中输入 - ssc install bdiff, replace- 可以下载最新版命令包，进而输入 - help bdiff - 查看帮助文件）：
preserve drop if industry==2 // 白人组中没有处于 Mining (industry=2) 的观察值 tab industry, gen(d) //手动生成行业虚拟变量 local dumind "d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11" //行业虚拟变量 global xx "c.ttl_exp married south c.hours c.tenure c.age c.agesq `dumind'" bdiff, group(black) model(reg wage $xx) surtest restore
几点说明：
- 使用 -suest- 时，允许两个样本组的解释变量个数不同。但由于一些技术上的问题尚未解决(很快可以解决掉)，-bdiff- 命令要求两个样本组中的解释变量个数相同。在上例中，白人组在 Mining 行业的观察值个数为零（输入 -tab industry black- 可以查看），导致我们加入行业虚拟变量时，白人组只有 10 个行业虚拟变量，而黑人组则有 11 个行业虚拟变量。为此，在上述命令中，我使用 - drop if industry==2 - 命令删除了 Mining 行业的观察值。
- 目前，-bdiff- 还不能很好地支持因子变量的写法 (help fvvarlist)，因此上例中的行业虚拟变量不能通配符方式写成 d*，而必须写成原始模样： d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11。
面板数据的处理方法
- suest - 不支持 -xtreg- 命令，因此无法直接将该方法直接应用于面板数据模型，如 FE 或 RE。此时，可以预先手动去除个体效应，继而对变换后的数据执行 OLS 估计，步骤如下：
- step 1： 对于固定效应模型而言，可以使用 - center - 或 - xtdata - 命令去除个体效应；对于随机效应模型而言，可以使用 - xtdata - 命令去除个体效应。
- step 2：按照截面数据的方法对处理后的数据进行分组估计，并执行 suest 估计和组间系数检验。
举个例子：
*-SUEST test for panel data *-数据概况 webuse "nlswork", clear xtset idcode year xtdes *-对核心变量执行组内去心：去除个体效应 help center //外部命令, 下载命令为 ssc install center, replace local y "ln_wage" local x "hours tenure ttl_exp south" bysort id: center `y', prefix(cy_) //组内去心 bysort id: center `x', prefix(cx_) *-分组回归分析 reg cy_* cx_* i.year if collgrad==0 // 非大学组 est store Yes reg cy_* cx_* i.year if collgrad==1 // 大学组 est store No *-列示分组估计结果 esttab Yes No, nogap mtitle(Yes_Coll No_Coll) /// star(* 0.1 ** 0.05 *** 0.01) s(r2 N) *-似无相关估计 suest Yes No *-组间差异检验 test [Yes_mean]cx_ttl_exp = [No_mean]cx_ttl_exp test [Yes_mean]cx_hours = [No_mean]cx_hours
小结
- 相对于方法1（引入交乘项），基于 SUR 的方法更为灵活一些。在上例中，白人组和黑人组的被解释变量相同 （均为 wage），此时方法 1 和方法 2 都能用。有些情况下，两个组中的被解释变量不同，此时方法 1 不再适用，而方法 2 则可以。
- 对于面板数据而言，可以预先使用 - center - 或 - xtdata - 命令去除个体效应，变换后的数据可以视为截面数据，使用 - regress - 命令进行估计即可。
- 为了便于呈现结果，可以使用 - estadd - 命令将上述检验结果(chi2 值或 p值) 加入内存，进而使用 -esttab- 命令列示出来。可以参考 - help bdiff - 中的类似范例。
新方法: 安装新版 suest 命令
目前，可以使用 Federico Belotti. 更新后的 suest.ado 文档替换 Stata 官方提供的 suest.ado 文档。前者支持 xtreg 命令。
替换方法为：
- Step 1： 执行
net install suest, replace命令，suest.ado文件被自动安装在 stata15adopluss 文件夹中。 - Step 2： 用 stata15adopluss 文件夹中的 suest.ado 文件替换掉 stata15adoases 文件夹中的同名文件。
然后就可以在完成 xtreg …… 估计后，使用 suest 命令进行组间系数差异检验了。
help suest xtreg 出现这个ado文件， 旁边就有 click here to install
方法 3：费舍尔组合检验 （Fisher's Permutation test)
A. 基本思想
将二者的系数差异定义为 ，检验的原假设为：
。
我们仍然关注 ttl_exp 变量在两组之间的系数差异。以 -Table 1- 中的结果为例，可以看到，ttl_exp 变量在 [white 组] 和 [black 组] 的系数估计值分别为 0.251 ( ) 和 0.269 (
)，因此，实际观察到的系数差异为
。
这里， 是一个统计量，若能知道其分布特征，便可通过分析
在
的分布中的相对位置来判断我们实际观察到
的概率。若概率很小，则表明
是小概率事件，此时拒绝原假设，反之则无法拒绝原假设。
例如，若假设 服从标准正态分布，即
，则基于实际观察到的
，我们很容易得出结论：无法拒绝原假设，即两组之间的 ttl_exp 的系数不存在显著差异。p-value 很容易计算 (当然，也可以查表得到)：
. dis normal(-0.018) //单尾检验
.49281943
我们并不知道 d 的分布特征。此时，可以对现有样本进行重新抽样，以得到经验样本 (empirical sample)，进而利用经验样本构造出组间系数差异统计量 d 的经验分布 (empirical distribution)，从而最终得到经验 p 值 (empirical p-value)。
下面先通过一个小例子说明 “经验 p 值” 和 “经验分布” 的概念，进而介绍使用组合检验获得 “经验 p 值” 的流程。
B. 经验P值
在这个小例子中，我们先随机生成一个服从标准正态分布的随机数 d，共有 10000 个观察值。这些观察值是通过模拟产生的。如果这些观察值构成的样本是通过从原始样本（原始样本是从母体中一次随机抽样，称为 “抽样样本，sample”）中二次抽样得到的，则称为 “经验样本 (empirical sample)”。
然后，我们数一下在这 10000 个随机数中，有多个是大于 (我们实际观察到的数值)，命令为 count if d<-0.018。一共有 4963 个观察值大于
，由此可得，经验 p 值 = 4963/10000 = 0.4963。这与采用 normal() 函数得到的结果 (0.4928) 非常接近。
preserve clear set obs 10000 set seed 1357 gen d = rnormal() // d~N(0,1) 服从标准正态分布的随机数 sum d, detail count if d<-0.018 dis "Empirical p-value = " 4963/10000 restore
C. 经验样本
上例中，我们假设 d 服从标准正态分布，从而可以通过 monte carlo 模拟的方式产生 10000 个观察值，这事实上是构造了一个经验样本。但多数情况下，我们并不知道 d 的分布特征，此时无法使用 monte carlo 模拟。然而，若假设抽样样本 (sample) 是从母体 (population) 中随机抽取的，则可以通过抽样样本中二次抽样得到经验样本 (empirical sample)，这些经验样本也可以视为对母体的随机抽样。
若抽样过程中为无放回抽样 (sampling with no replacement)，则相应的检验方法称为 “组合检验（permutation test）”；若抽样过程中为有放回抽样 (也称为可重复抽样，sampling with replacement)，则对应的检验方法称为 “基于 Bootstrap 的检验”。
D. 费舍尔组合检验的步骤
若 是正确的，则对于任何一个妇女而言（不论她是白人还是黑人），其 x 对 y 的边际影响都是相同的。因此，我们可以将白人组和黑人组的观察值混合起来，从中随机抽取 n1 个观察值，并将其视为"白人组"，剩下的 n2 个观察值可以视为“黑人组”。
- Step 0: 分别针对白人组和黑人组估计模型 (3a) 和 (3b)，得到系数估计值
和
，以及二者的系数差异
；
- Step 1: 将白人组和黑人组的样本混合起来，得到 n1+n2 个观察值构成的样本 S；
- Step 2: 获得经验样本 —— 从 S 中随机抽取 (无放回) n1 个观察值，将其视为“白人组”(记为 Sw)，剩下的 n2 个观察值可以视为“黑人组” (记为 Sb)；
- Step 3: 分别针对经验样本 Sw 和 Sb，估计模型 (3a) 和 (3b)，得到
和
（上标
表示利用第一笔经验样本得到的估计值），以及二者的差异
；
- Step 4: 获得统计量
的经验分布 —— 将 Step 2 和 Step 3 重复执行
次 (如
)，则可以得到
，亦可简记为
；
- Step 5: 计算 经验 p 值，
，其中
表示 Step 4 中得到的
中大于我们实际观测到的
的个数。若
，则可以在5%水平上拒绝原假设，表明两组的系数差异是显著的。
- 需要说明的是，由于
与
都可以视为在 5% 水平上拒绝原假设的证据。因为，前者意味着
下观察到
- 此外，该方法的并不局限于普通的线性回归模型(-regress-命令)，可以应用于各种模型的估计命令，如 -xtreg-, -xtabond-, -logit-, -ivregress- 等。
E. stata实现
上述过程可以使用连玉君编写的 -bdiff- 命令来实现。在命令窗口中输入 -ssc install bdiff, replace- 可以自动安装该命令。帮助文件中提供了多个范例。
先使用一个简单的例子，不考虑行业虚拟变量：
*-数据处理 sysuse "nlsw88.dta", clear gen agesq = age*age drop if race==3 gen black = 2.race global xx "ttl_exp married south hours tenure age agesq" *-检验 bdiff, group(black) model(reg wage $xx) reps(1000) detail
- 选项 group() 中填写用于区分组别的类别变量（若有多个组，可以预先删除不参与比较的组，类似于上面的 drop if race==3 命令）；
- 选项 model() 用于设定回归模型，即上面提到的模型 (3a) 或 (3b)；
- 选项 reps(#) 用于设定抽样次数，即上文提到的
- 附加 detail 选项，可以进一步列表呈现两组的实际估计系数
上述过程大约用时 13 秒，结果如下：
可以看到，ttl_exp 的经验 p 值为 0.49，表明白人和黑人组的 ttl_exp 系数不存在显著差异；married 变量的 p 值为 0.08，我们可以在 10% 水平上拒绝原假设。细心的读者会发现，该变量对应的 Freq = 920，为什么？（答案在上面 Step 5 处）。
添加行业虚拟变量：若需在模型中加入虚拟变量，处理过程会稍微复杂一些。需要手动生成行业虚拟变量，并保证两个样本组中参与回归的行业虚拟变量个数相同。此外，书写命令时，不能使用通配符。
*-数据预处理(可以忽略) sysuse "nlsw88.dta", clear gen agesq = age*age *-分组虚拟变量 drop if race==3 gen black = 2.race *-删除缺漏值 global xx "ttl_exp married south hours tenure age* i.industry" qui reg wage $xx i.race keep if e(sample) *-生成行业虚拟变量 drop if industry==2 // 白人组中没有处于 Mining (industry=2) 的观察值 tab industry, gen(d) //手动生成行业虚拟变量 local dumind "d2 d3 d4 d5 d6 d7 d8 d9 d10 d11" //行业虚拟变量 global xx "c.ttl_exp married south c.hours c.tenure c.age c.agesq `dumind'" *-permutation test bdiff, group(black) model(reg wage $xx) reps(1000) detail
面板数据
若原始数据为面板数据，通常会采用 -xtreg-, -xtabond- 等考虑个体效应的方法进行估计。抽样过程必须考虑面板数据的特征。在执行 -bdiff- 命令之前，只需设定 -xtset id year-，声明数据为面板数据格式，则抽样时便会以 id (公司或省份代码) 为单位，以保持 id 内部的时序特征。
*-Panel Data (sample by cluster(id)) *-数据预处理 webuse "nlswork.dta", clear xtset id year //声明为面板数据，否则视为截面数据 gen agesq = age*age drop if race==3 gen black = 2.race *-检验 global x "ttl_exp hours tenure south age agesq" local m "xtreg ln_wage $x, fe" //模型设定 bdiff, group(black) model(`m') reps(1000) bs first detail
- -bdiff- 命令中设定 -bs- 选项，则随机抽样为可重复抽样 (bootstrap)；
- -first- 选项便于将组间系数差异检验结果保存在内存中，方便后续使用 esttab 合并到回归结果表格中。具体使用方法参见 -help bdiff-。
- 由于抽样过程具有随机性，因此每次检验的结果都有微小差异。在投稿之前，可以附加 -seed()- 选项，以保证检验结果的可复制性。
- 其他选项和使用方法参阅 -help bdiff- 的帮助文件。
小结
- 方法1（加入交乘项）在多数模型中都可以使用，但要注意其背后的假设条件是比较严格的。若在混合回归中，只引入你关心的那个变量（ttl_exp）与分组变量 (black) 的交乘项（ttl_exp*black），则相当于假设其他控制变量在两组之间的不存在系数差异。相对保守的处理方法是：在混合估计时，引入所有变量与分组变量的交乘项，同时附加 vce(robust) 选项，以克服异方差的影响。
- 方法2（基于 SUR 模型的检验）执行起来也比较方便，假设条件也比较宽松：允许两组中所有变量的系数都存在差异，也允许两组的干扰项具有不同的分布，且彼此相关。局限在于，有些命令无法使用 -suest- 执行联合估计，如几乎所有针对面板数据的命令都不支持（-xtreg-， -xtabond- 等）。
- 方法3（组合检验）是三种方法中假设条件最为宽松的，只要求原始样本是从母体中随机抽取的（看似简单，但很难检验，只能靠嘴说了），而对于两个样本组中干扰项的分布，以及衡量组间系数差异的统计量
的分布也未做任何限制。事实上，在获取经验 p 值的过程中，我们采用的是“就地取材”、“管中窥豹”的思路，并未假设
- 方法无优劣。无论选择哪种方法，都要预先审视一下是否符合这些检验方法的假设条件。